Question

“a≤0”是“函數f（x）=x（

a

3

x²+

a-1

2

x-1）在區間（0，+∞）上單調遞增”的（　　）

• A、充分必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分不必要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：對a分類討論，利用導數研究函數f（x）的單調性即可得出．

解答： 解：f（x）=

a

3

x3+

(a-1)

2

x2-x，
∴f′（x）=ax²+（a-1）x-1，
當a=0時，x＞0時，f′（x）=-x-1＜0，函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減．
當a≠0時，f′（x）=a(x-

1

a

)(x+1)．
當a＜0時，x＞0時，f′（x）＜0，因此函數f（x）單調遞減；
當a＞0時，令f′（x）＞0，解得x＞

1

a

，因此函數f（x）在區間（0，+∞）上不單調遞增．
綜上可得：“a≤0”是“函數f（x）=x（

a

3

x²+

a-1

2

x-1）在區間（0，+∞）上單調遞增”的既不充分也不必要條件．
故選：D．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、充要條件的判定，考查了分類討論的思想方法，屬于基礎題．