Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．
（Ⅰ）若函數f（x）在（0，+∞）上有極大值0，求a的值；（提示：當且僅當x=1時，lnx=x﹣1）；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x﹣1）+ （0＜x≤3），其圖象上任意一點P（x0 ， y0）處切線的斜率k≤ 恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）討論并求出函數f（x）在區間 上的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）
當x∈ 時，f'（x）＞0，當x∈ 時，f'（x）＜0
故函數f（x）在 上單調遞增，在 上單調遞減，
因此函數f（x）在 （0，+∞）上有極大值
∴lna=a﹣1，解得a=1
（Ⅱ） ，于是有 在（0，3]上恒成立，所以 ，當x0=1時， 取最大值 ，所以 ；
（Ⅲ）∵
①若 ，即 ，則當 時，有f'（x）≥0，∴函數f（x）在 上單調遞增，則f（x）max=f（e）=1﹣ea+a．
②若 ，即 ，則函數f （x）在 上單調遞增，在 上單調遞減，∴ ．
③若 ，即a≥e，則當 時，有f'（x）≤0，函數f （x）在 上單調遞減，則 ．
綜上得，當 時，f（x）max=1﹣ea+a；當 時，f（x）max=﹣lna﹣1+a；當a≥e時，
【解析】（Ⅰ）求f（x）的導數，討論導數的正負，可得f（x）的單調區間，利用函數f（x）在（0，+∞）上有極大值0，即可求a的值；
（Ⅱ）切線的斜率即為函數在切點處的導數，讓f′（x0）≤ 恒成立即可，再由不等式恒成立時所取的條件得到實數a范圍，即得實數a的最小值．
（Ⅲ）分類討論，利用函數的單調性，結合函數的定義域，求出函數f（x）在區間[ ，e]上的最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．