Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)為和，過的直線交于，兩點(diǎn)，過作與軸垂直的直線交直線于點(diǎn)．設(shè)，已知當(dāng)時(shí)，．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：無論如何變化，直線過定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)橢圓定義和線段長(zhǎng)度關(guān)系可知在軸上，由此求得，代入橢圓方程即可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（Ⅱ）將直線：代入橢圓方程可得韋達(dá)定理的形式，從而得到，從而化簡(jiǎn)得到直線的斜率，得到方程為，從而得到定點(diǎn).

（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，其中，

時(shí)，不妨設(shè)，則，

，，由橢圓定義得：，，

故此時(shí)點(diǎn)在軸上，不妨設(shè)，則，

代入橢圓方程，解得：，，

故所求橢圓方程為．

（Ⅱ）直線過定點(diǎn)，證明如下：

設(shè)直線方程為：，

代入橢圓中得：，即，

設(shè)，，

則，，，

由題設(shè)知：，直線斜率：，

直線方程為，化簡(jiǎn)得：，故直線恒過．