Question

（本小題滿分14分）
已知函數，其中ｅ是自然數的底數，．
（1）當時，解不等式；
（2）當時，求正整數ｋ的值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；
（3）若在［－１，１］上是單調增函數，求的取值范圍．

Answer 1

（1）   （2）1  （3）

試題分析：⑴因為，所以不等式即為，
又因為，所以不等式可化為，
所以不等式的解集為．
⑵當時,方程即為，由于，所以不是方程的解，
所以原方程等價于，令，
因為對于恒成立，
所以在內是單調增函數，
又，， ，
所以方程有且只有1個實數根， 在區間 ，
所以整數的值為 1．
⑶，
①  當時，，在上恒成立，當且僅當時
取等號，故符合要求；
②當時，令，因為，
所以有兩個不相等的實數根，，不妨設，
因此有極大值又有極小值．
若，因為，所以在內有極值點，
故在上不單調．
若，可知，
因為的圖象開口向下，要使在上單調，因為，
必須滿足即所以.
綜上可知，的取值范圍是．
點評：本題考查的知識是利用導數求閉區間上函數的最值，函數的單調性與導數的關系，熟練掌握導數法在求函數單調性，最值，極值的方法是解答的關鍵．