Question

已知函數f（x）=kx+m，當x∈[a₁，b₁]時，f（x）的值域為[a₂，b₂]，當x∈[a₂，b₂]時，f（x）的值域為[a₃，b₃]，依此類推，一般地，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）的值域為[a_n，b_n]，其中k、m為常數，且a₁=0，b₁=1．
（1）若k=1，求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若m=2，問是否存在常數k＞0，使得數列{b_n}滿足

lim

n→∞

bn=4？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由；
（3）若k＜0，設數列{a_n}，{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n，求T₂₀₁₀-S₂₀₁₀．

Answer 1

分析：（1）因為f（x）=x+m，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調增函數，所以其值域為[a_n-1+m，b_n-1+m]，由此能求出a_n和b_n．
（2）因為f（x）=x+mf（x）=kx+m（k＞0），當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調增函數．所以f（x）的值域為[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，因m=2，則b_n=kb_n-1+2（n≥2）．
法一：假設存在常數k＞0，使得數列{bn}滿足

lim

n→∞

bn=4，則

lim

n→∞

bn=k

lim

n→∞

bn-1+2，由此能求出k的值．
法二：假設存在常數k＞0，使得數列{b_n}滿足

lim

n→∞

bn=4．當k=1不符合．當k≠1時bn=(1+

2

k-1

)kn-1-

2

k-1

，由此能求出k的值．
（3）因為k＜0，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調減函數，所以f（x）的值域為[kb_n-1+m，ka_n-1+m]．由此入手，能求出T₂₀₁₀-S₂₀₁₀．

解答：解：（1）因為f（x）=x+m，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調增函數，
所以其值域為[a_n-1+m，b_n-1+m]…（2分）
于是a_n=a_n-1+m，b_n=b_n-1+m（n∈N^*，n≥2）…（4分）
又a₁=0，b₁=1，所以a_n=（n-1）m，b_n=1+（n-1）m．…（6分）
（2）因為f（x）=x+mf（x）=kx+m（k＞0），當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調增函數
所以f（x）的值域為[ka_n-1+m，kb_n-1+m]，因m=2，則b_n=kb_n-1+2（n≥2）…（8分）
法一：假設存在常數k＞0，使得數列{bn}滿足

lim

n→∞

bn=4，則

lim

n→∞

bn=k

lim

n→∞

bn-1+2，得4=4k+2，則k=

1

2

符合．…（12分）
法二：假設存在常數k＞0，使得數列{b_n}滿足

lim

n→∞

bn=4．
當k=1不符合．…（9分）
當k≠1時，bn=kbn-1+2(n≥2)?bn+

2

k-1

=k(bn-1+

2

k-1

)(n≥2)，
則bn=(1+

2

k-1

)kn-1-

2

k-1

，…（11分）
當0＜k＜1時，

lim

n→∞

bn=

2

1-k

=4，得k=

1

2

符合．…（12分）
（3）因為k＜0，當x∈[a_n-1，b_n-1]時，f（x）為單調減函數，
所以f（x）的值域為[kb_n-1+m，ka_n-1+m]…（14分）
于是a_n=kb_n-1+m，b_n=ka_n-1+m（n∈N^*，n≥2）
則b_n-a_n=-k（b_n-1-a_n-1）…（16分）
又b₁-a₁=1
則有T2010-S2010=

2010，(k=-1) 1-k2010 1+k) ，(k＜0，k≠-1)

…（18分）

點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．注意極限和分類討論思想的靈活運用．