Question

【題目】如圖，已知橢圓：（）的離心率為，并以拋物線：的焦點為上焦點.直線：（）交拋物線于，兩點，分別以，為切點作拋物線的切線，兩切線相交于點，又點恰好在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最大值；

（3）求證：點恒在的外接圓內.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）由條件有，即，由離心率可得，然后可求出，得到橢圓方程.
(2) 設，,將直線方程與拋物線方程聯立，寫出韋達定理，：求出直線的方程，同理可得：，可得到，根據點在橢圓，得到，利用均值不等式可到答案.
(3) 因為過原點，所以可設的外接圓方程為,將，坐標代入圓的方程，求出，將點代入外接圓方程可得，從而可證.

（1）解：由已知得，所以，

又因為，所以，

所以橢圓的方程為.

（2）設，，由直線：（）與拋物線：方程聯立可得，

所以

因為，所以：，即：，

同理可得：，

由直線的方程與直線的方程聯立有，可得

將代入直線可得

所以，即，

因為點在橢圓上，所以，

即.

因為，

所以當，時，取得最大值.

（3）證法：因為過原點，所以可設的外接圓方程為，

由已知可得

故

，

所以，

將點代入外接圓方程可得，

因為，所以，

所以點恒在的外接圓內.

證法二：設的外心為，

由已知可得的中垂線為，即，

同理的中垂線為，

聯立可得

所以，

又因為，，

所以，

所以點恒在的外接圓內.