Question

【題目】若數列對任意連續三項，均有，則稱該數列為“跳躍數列”.

（1）判斷下列兩個數列是否是跳躍數列：

①等差數列：；

②等比數列：；

（2）若數列滿足對任何正整數，均有.證明：數列是跳躍數列的充分必要條件是.

（3）跳躍數列滿足對任意正整數均有，求首項的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）① 等差數列：不是跳躍數列；② 等比數列：是跳躍數列.（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）①數列通項公式為，計算可得：，所以它不是跳躍數列；②數列通項公式為：，計算可得：，所以它是跳躍數列；

（2）必要性：若，則是單調遞增數列，若，是常數列，均不是跳躍數列；充分性：用數學歸納法證明證明，命題成立，若時，可得：，所以當時命題也成立；

（3）有已知可得：，，若，則，解得；若，則，解得，

由，則，得；當，則，得，問題得解.

（1）①等差數列：通項公式為：

所以此數列不是跳躍數列；

②等比數列：通項公式為：

所以此數列是跳躍數列

（2）必要性：

若，則是單調遞增數列，不是跳躍數列；

若，是常數列，不是跳躍數列.

充分性：（下面用數學歸納法證明）

若，則對任何正整數，均有成立.

當時，， ，

，

，

所以命題成立

若時，，

則，

，

所以當時命題也成立，

根據數學歸納法，可知命題成立，數列滿足，

故是跳躍數列.

（3）

若，則，

解得；

若，則，

解得；

若，則，所以，

若，則，所以，

所以，

此時對任何正整數，均有