Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設為原點，過原點的直線（不與軸垂直）與橢圓交于、兩點，直線、與軸分別交于點、.問：軸上是否存在定點，使得？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，點的坐標為.

【解析】

（Ⅰ）利用橢圓的離心率結合，求出，得到橢圓方程；

（Ⅱ）設，由題意及橢圓的對稱性可知，求出、的方程，求出、的坐標，假設存在定點使得，得到，求出，即可說明存在點坐標為滿足條件.

（Ⅰ）由題意得，解得，所以，橢圓的方程為；

（Ⅱ）設，由題意及橢圓的對稱性可知，

則直線的方程為，直線的方程為，

則點坐標為，點坐標為.

假設存在定點使得，

即（也可以轉化為斜率來求），

即，即，即，所以，

所以存在點坐標為滿足條件.