Question

【題目】如圖，在多面體中，平面平面，∥，，，，.

（1）求多面體的體積；

（2）已知是棱的中點，在棱是否存在點使得∥，若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在.見解析

【解析】

（1）作交的延長線于，先證明為點到平面的距離，求出的長度，再利用三棱錐的體積公式求多面體的體積；

（2）假設棱上存在點，使得∥.再證明是與的交點，即就是，而與相交，這與∥相矛盾.即得證.

解：（1）如圖，

作交的延長線于，

因為平面平面，

平面平面，且平面，

所以平面，所以為點到平面的距離.

因為，，所以，

又，

所以.

（2）假設棱上存在點，使得∥.

連接，取的中點，

在△中，因為分別為的中點，

所以∥.

因為過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行，

所以與重合.

因為點在線段上，

所以，

又，

所以是與的交點，即就是，

而與相交，

這與∥相矛盾，

所以假設不成立，

故棱上不存在點使得∥.