Question

設函數．

（Ⅰ）若在x=處的切線與直線4x+y=0平行，求a的值；

（Ⅱ）討論函數的單調區間；

（Ⅲ）若函數的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為，證明．

 

Answer 1

【答案】

（I）a=-6；（Ⅱ）①當a≥0時，函數f(x)的單調遞增區間為(0，+∞)；②當a<0時，函數f(x)的單調遞增區間為(0，)，單調遞減區間為(，+∞)；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（I）f(x)的圖象在x=處的切線與直線4x+y=0平行，則，求導、代入此式即可得a的值；（Ⅱ）求導得，由x>0，知>0，故只需考慮的符號．當a≥0時，對任意x>0，>0恒成立，函數f(x)的單調遞增區間為(0，+∞)．當a<0時，令=0，解得，由此可得函數f(x)的單調遞增區間為(0，)，單調遞減區間為(，+∞)；（Ⅲ）因為函數的圖象與x軸交于A、B兩點，由（Ⅱ）知必有 .不妨設A(，0)，B(，0)，且，

因為函數f(x)在(，+∞)上單調遞減，于是要證<0成立，只需證：即．這個不等式怎么證？這是一個很常見的問題，都是將a換掉，只留，，然后將這個不等式變形為含的不等式，然后令，再利用導數證明.

試題解析：（I）由題知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定義域為(0，+∞)，

且．

又∵f(x)的圖象在x=處的切線與直線4x+y=0平行，

∴，

解得a=-6． 4分

（Ⅱ），

由x>0，知>0．

①當a≥0時，對任意x>0，>0，

∴此時函數f(x)的單調遞增區間為(0，+∞)．

②當a<0時，令=0，解得，

當時，>0，當時，<0，

此時，函數f(x)的單調遞增區間為(0，)，單調遞減區間為(，+∞)． 9分

（Ⅲ）不妨設A(，0)，B(，0)，且，由（Ⅱ）知，

于是要證<0成立，只需證：即．

∵， ①

， ②

①-②得，

即，

∴，

故只需證，

即證明，

即證明，變形為，

設，令，

則，

顯然當t>0時，≥0，當且僅當t=1時，=0，

∴g(t)在(0，+∞)上是增函數．

又∵g(1)=0，

∴當t∈(0，1)時，g(t)<0總成立，命題得證． 14分

考點：1、導數的應用；2、利用導數解決不等式問題.