Question

【題目】設(shè)函數(shù)。

（1）若存在最大值，且，求的取值范圍。

（2）當(dāng)時(shí)，試問方程是否有實(shí)數(shù)根，若有，求出所有實(shí)數(shù)根；若沒有，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）沒有實(shí)根，理由見解析。

【解析】

試題分析：（1）先求出的定義域和導(dǎo)數(shù)，對(duì)分，和進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，由得到關(guān)于的不等式，解之即可；（2）當(dāng)時(shí)；方程可化為，即，再構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)法求出它們的最值，即可判斷方程有無實(shí)數(shù)根。

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)或時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)，此時(shí)函數(shù)無最大值，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值，因?yàn)?/span>，所以有，解之得，所以的取值范圍是。

（2）當(dāng)時(shí)，方程可化為，即，設(shè)，則，∴時(shí)，，∴在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴在上是增函數(shù)，∴

設(shè)，則，∴當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；∴，∵，∴數(shù)形結(jié)合可得在區(qū)間上恒成立，∴方程沒有實(shí)數(shù)根。