Question

【題目】設數列是公差大于的等差數列， 為數列的前項和．已知，且構成等比數列．

(1)求數列的通項公式；

(2)若數列滿足，設是數列的前項和，證明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）（1）利用等差數列前n項和、通項公式和等比數列，列出方程組，求出首項與公差，由此能求出數列{an}的通項公式．
（2）推導出bn=＝(2n－1) ，利用錯位相減法求出數列{bn}的前n項和，由此能證明Tn<6．

試題解析：

(1)設數列{an}的公差為d，則d>0.

因為S3＝9，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝9，即a2＝3.

因為2a1，a3－1，a4＋1構成等比數列，

所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)，

所以d＝2.所以an＝a2＋(n－2)d＝2n－1.

(2)證明：因為＝2n－1(n∈N*)，所以bn＝＝(2n－1) ，

所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－1)×，①

所以Tn＝1×＋3×＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×，②

由①②兩式相減得Tn＝1＋2×＋2×＋…＋2×－(2n－1)×＝1＋－＝3－－，整理化簡得Tn＝6－.又因為n∈N*，所以Tn＝6－<6.

點睛:用錯位相減法求和應注意的問題:(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.