Question

如圖，在三棱拄中，側面，已知  

（1）求證：；

（2）試在棱(不包含端點上確定一點的位置,

使得；

(3) 在（2）的條件下,求二面角的平面角的正切值.

Answer 1

為的中點時，，

解析:

證（Ⅰ）因為側面，故

 在中，   由余弦定理有

  故有 

  而     且平面

     

（Ⅱ）由

從而  且 故

 不妨設  ，則，則

又  則

在中有   從而（舍負）

故為的中點時，

 法二：以為原點為軸，設，則       由得    即

      

  化簡整理得   ， 或

  當時與重合不滿足題意

  當時為的中點

     故為的中點使

 （Ⅲ）取的中點，的中點，的中點，的中點

 連則，連則，連則

 連則，且為矩形，

又   故為所求二面角的平面角

在中，

法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角

因為  

故