Question

【題目】設，，以表示不是的因數的最小自然數，例如.若，又可作等等.如果，那么叫做的長度.對一切，，用列舉法表示的長度構成的集合是______.

Answer 1

【答案】

【解析】

記的長度為Ln.

很明顯，若奇數n≥3，那么f(n)＝2，因此只須討論n為偶數的情況，

我們首先證明，對任何n≥3，f(n)＝ps，這里P是素數，s為正整數．

假若不然，若f(n)有兩個不同的素因子，這時總可以將f(n)表為f(n)＝ab，其中a、b是大于1的互素的正整數．

由f的定義知，a與b都應能整除n，因(a，b)＝1，故ab也應整除n，這與f(n)＝ab矛盾．

所以f(n)＝ps．

由此可以得出以下結論：

(1)當n為大于1的奇數時，f(n)＝2，故Ln＝1；

(2)設n為大于2的偶數，如果f(n)＝奇數，那么f(f(n))＝2，這時Ln＝2；

如果f(n)＝2s，其中自然數s≥2，那么f(f(n))＝f(2s)＝3，從而f(f(f(n)))＝f(3)＝2，這時Ln＝3．

綜上可得，用列舉法表示的長度構成的集合是.