Question

已知圓O的方程為x²+y²=16，過(guò)點(diǎn)M（3，0）作直線與圓O交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為

3

2

，求直線AB的方程；
（2）當(dāng)△OAB的面積最大時(shí)，求直線AB的斜率；
（3）如圖所示過(guò)點(diǎn)P（-4，0）作兩條直線與圓O分別交于R、S，若∠OPR+∠OPS=

π

4

，且兩角均為正角，試問(wèn)直線RS的斜率是否為定值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)N（3，0）的直線方程為x=my+3，由原點(diǎn)到直線AB的距離能求出直線AB的方程．
（2）直線AB的方程：x=my+3，代入圓的方程x²+y²=16得（m²+1）y²+6my-7=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式能求出直線AB的斜率．
（3）設(shè)點(diǎn)R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），將直線RS的方程y=kx+b，代入圓的方程得（k²+1）x²+2kbx+b²-16=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線RS的斜率為定值-1．

解答： （本小題16分）
解：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)N（3，0）的直線方程為x=my+3，
∵原點(diǎn)到直線AB的距離為

3

2

，
∴

3

m2+1

=

3

2

，解得m=±

3

，
∴直線AB的方程為x±

3

y-3=0．
（2）直線AB的方程：x=my+3，
代入圓的方程x²+y²=16得（m²+1）y²+6my-7=0，
由韋達(dá)定理得，y1+y2=

-6m

m2+1

，y1y2=

-7

m2+1

，
∵SAOB=

1

2

×|ON||y1-y2|=3

16m2+7 (m2+1)2

=3

16 (m2+1) - 9 (m2+1)2

，
∴當(dāng)

1

m2+1

=

8

9

時(shí)，即m=±

2

4

時(shí)△OAB面積最大，
此時(shí)直線AB的斜率為±2

2

．
（3）設(shè)點(diǎn)R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
將直線RS的方程y=kx+b，代入圓的方程得（k²+1）x²+2kbx+b²-16=0
由韋達(dá)定理得x1+x2=-

2kb

k2+1

，x1x2=

b2-16

k2+1

①
tan∠OPR=

y1

x1+4

，tan∠OPS=

y2

x2+4

，
則

y1 x1+4 + y2 x2+4

1- y1 x1+4 × y2 x2+4

=1，
即y₁（x₂+4）+y₂（x₁+4）=（x₁+4）（x₂+4）-y₁y₂（*），
又∵y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，②
則①②代入（*）式整理得b（k+1）=4k（k+1），
即b=4k或k=-1，
當(dāng)b=4k時(shí)，直線RS過(guò)定點(diǎn)（-4，0）不成立，
故直線RS的斜率為定值-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、直線斜率的求法，考查直線的斜率是否為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．