Question

是否存在正方形ABCD，它的對角線AC在直線x+y-2=0上，頂點B、D在拋物線y²=4x上?若存在，試求出正方形的邊長；若不存在，試說明理由.

Answer 1

不存在

設存在滿足題意的正方形.則BD：y=x+b,代入拋物線方程得x²+(2b-4)x+b²=0,
∴△=(2b-4)²-4b²=16-16b＞0,∴b＜1,   ①，
設B(x₁,y₁),D(x₂,y₂),BD中點M(x₀,y₀),則x₁+x₂=4-2b,
∴x₀=2-b,y₀=x₀+b=2,∵M在AC直線上，
∴(2-b)+2-2=0，∴b=2與①相矛盾，
故不存在滿足要求的正方形.