Question

【題目】已知過原點的動直線l與圓相交于不同的兩點A，B．

（1）求線段AB的中點M的軌跡C的方程；

（2）是否存在實數k，使得直線L：y=k（x﹣4）與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用圓的幾何性質，總有，根據斜率公式得到軌跡方程；（Ⅱ）做出曲線的圖象， 恒過點，利用數形結合，可知斜率的變化范圍．

試題解析：（Ⅰ）設，則，

當直線的斜率不為0時，由得，即

當直線的斜率為0時，也適合上述方程

∴ 線段的中點的軌跡的方程為；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知點的軌跡是以為圓心為半徑的部分圓弧（如下圖所示，不包括兩端點），且，，又直線： 過定點，當直線與圓相切時，由得，又，結合上圖可知當時，直線： 曲線只有一個交點．