Question

設F₁、F₂為曲線C₁：+=1的焦點，P是曲線C₂：-y²=1與C₁的一個交點，則△PF₁F₂的面積為________．

Answer 1

分析：根據雙曲線和橢圓的定義可得 PF₁+PF₂=2，PF₁-PF₂=2，△PF₁F₂ 中，由余弦定理可得
cos∠F₁PF₂=，故 sin∠F₁PF₂=，由△PF₁F₂的面積為 •PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂運算
得到結果．
解答：由曲線C₁：+=1的方程可得 F₁ （-2，0）、F₂ （2，0），再由橢圓的定義可得
PF₁+PF₂=2． 又因曲線C₂：-y²=1 的焦點和曲線C₁ 的焦點相同，再由雙曲線的定義可得
PF₁-PF₂=2．∴PF₁=，PF₂=．
△PF₁F₂ 中，由余弦定理可得 16=-2（）（）cos∠F₁PF₂ ，
解得 cos∠F₁PF₂=，∴sin∠F₁PF₂=，
△PF₁F₂的面積為 •PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=（ ）（）sin∠F₁PF₂=，
故答案為：．
點評：本題考查雙曲線和橢圓的定義和標準方程，以及簡單性質的應用，求出 PF₁=，PF₂=，
sin∠F₁PF₂ 的值，是解題的關鍵．