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如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面圓周上（點E異于A、B兩點），點F在DE上，且AF⊥DE，若圓柱的底面積與△ABE的面積之比等于π．
（1）求證：AF⊥BD；
（2）求直線DE與平面ABCD所成角的正切值．

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如圖，設拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂；以F₁、F₂為焦點，離心率e=

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的一個交點為P．
（Ⅰ）當m=1時，求橢圓的方程及其右準線的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，經過點F₂的直線l與拋物線C₁交于A₁、A₂，如果以線段A₁A₂為直徑作圓，試判斷拋物線C₁的準線與橢圓C₂的交點B₁、B₂與圓的位置關系；
（Ⅲ）是否存在實數m，使得△PF₁F₂的邊長是連續的自然數，若存在，求出這樣的實數m；若不存在，請說明理由．

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如圖所示，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，F為橢圓在x軸正半軸上的焦點，M、N兩點在橢圓C上，且

MF

=λ

FN

（λ＞0），定點A（-4，0），當λ=1時，有

AM

•

AN

=

106

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）當M、N兩點在橢圓C上運動時，試判斷

AM

•

AN

•tan∠MAN是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出這時M、N兩點所在直線方程，若不存在，請說明理由．

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