Question

如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點E在底面圓周上（點E異于A、B兩點），點F在DE上，且AF⊥DE，若圓柱的底面積與△ABE的面積之比等于π．
（1）求證：AF⊥BD；
（2）求直線DE與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）欲證AF⊥DB，先證AF⊥平面DEB，根據線面垂直的判定定理可知只需證EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可證得線面垂直；
（2）點E作EH⊥AB，H是垂足，連接DH，易證∠EDH是DE與平面ABCD所成的角，在三角形EDH中求出此角即可．

解答： （1）證明：根據圓柱性質，DA⊥平面ABE．
∵EB?平面ABE，
∴DA⊥EB．
∵AB是圓柱底面的直徑，點E在圓周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，
故得EB⊥平面DAE．
∵AF?平面DAE，
∴EB⊥AF．
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，
故得AF⊥平面DEB．
∵DB?平面DEB，
∴AF⊥DB．
（2）∵平面ABCD⊥面ABE，
∴過E作EH⊥AB，
則EH⊥面ABCD，
即∠EDH為DE與平面ABCD所成角，
設圓柱的底半徑為r，因為圓柱的軸截面ABCD是正方形，
△ABE的面積為S=

1

2

•AB•EH=r•EH．圓柱的底面積S=π•r²，
∵若圓柱的底面積與△ABE的面積之比等于π，
∴r•EH•π=π•r²，
解得EH=r，
∴點H為圓柱底面圓的圓心，
則tan∠EDH=

EH

DH

=

r

r2+4r2

=

1

5

=

5

5

，
即直線DE與平面ABCD所成角的正切值

5

5

．

點評：本小題主要考查空間線面關系、圓柱性質、空間想象能力和邏輯推理能力．要求熟練掌握相應的判定定理和線面角的求解方法．