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【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線，點在雙曲線C上，設坐標原點為O.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）若過點的直線l與雙曲線C交于R、S兩點，若，求直線l的方程；

（3）設在雙曲線上，且直線AM與y軸相交于點P，點M關于y軸對稱的點為N，直線AN與y軸相交于點Q，問：在x軸上是否存在定點T，使得？若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由.

【題目】已知數列的通項公式為，其中且.

（1）若是正項數列，求的取值范圍；

（2）若，數列滿足，且對任意，均有，寫出所有滿足條件的的值；

（3）若，數列滿足，其前n項和為，且使的i和j至少4組，、、……、中至少有5個連續項的值相等，其它項的值均不相等，求，滿足的充要條件并加以證明.

【題目】已知集合是滿足下列性質的函數的全體：存在實數、，對于定義域內任意，均有成立，稱數對為函數的“伴隨數對”.

（1）判斷函數是否屬于集合，并說明理由；

（2）若函數，求滿足條件的函數的所有“伴隨數對”；

（3）若、都是函數的“伴隨數對”，當時，，當時，，求當時，函數的解析式和零點.

【題目】某公司生產的某批產品的銷售量萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用萬元滿足（其中，為正常數）．已知生產該產品還需投入成本萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為元件．

（1）將該產品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數；

（2）促銷費用投入多少萬元時，該公司的利潤最大？

【題目】設函數的定義域為，如果存在非零常數，對于任意，都有，則稱函數是“似周期函數”，非零常數為函數的“似周期”．現有下面四個關于“似周期函數”的命題：

①如果“似周期函數”的“似周期”為-1，那么它是周期為2的周期函數；

②函數是“似周期函數”；

③函數是“似周期函數”；

④如果函數是“似周期函數”，那么“”．

其中是真命題的序號是 ．（寫出所有滿足條件的命題序號）

【題目】對于雙曲線：（），若點滿足，則稱在的外部；若點滿足，則稱在的內部.

（1）若直線上點都在的外部，求的取值范圍；

（2）若過點，圓（）在內部及上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半，求、滿足的關系式及的取值范圍；

（3）若曲線（）上的點都在的外部，求的取值范圍.

【題目】已知數列的通項公式為，其中，、.

(1)試寫出一組、的值，使得數列中的各項均為正數.

(2)若，，數列滿足，且對任意的()，均有，寫出所有滿足條件的的值.

(3)若，數列滿足，其前項和為，且使(、，)的和有且僅有組，、、…、中有至少個連續項的值相等，其它項的值均不相等，求、的最小值.

【題目】如圖，小凳凳面為圓形，凳腳為三根細鋼管.考慮到鋼管的受力等因素，設計的小凳應滿足：三根細鋼管相交處的節點與凳面圓形的圓心的連線垂直于凳面和地面，且分細鋼管上下兩段的比值為，三只凳腳與地面所成的角均為.若、、是凳面圓周的三等分點，厘米，求凳子的高度及三根細鋼管的總長度(精確到).

【題目】已知數列的奇數項是首項為1的等差數列，偶數項是首項為2的等比數列.設數列的前n項和為且滿足

（1）求數列的通項公式；

（2）若求正整數的值；

（3）是否存在正整數，使得恰好為數列的一項？若存在，求出所有滿足條件的正整數；若不存在，請說明理由.

【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線，點都在雙曲線上，直線與軸相交于點，設坐標原點為.

（1）求雙曲線的方程，并求出點的坐標（用表示）；

（2）設點關于軸的對稱點為，直線與軸相交于點.問：在軸上是否存在定點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）若過點的直線與雙曲線交于兩點，且，試求直線的方程.