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【題目】已知函數，曲線在點處的切線方程為.

（1）求函數的解析式，并證明：.

（2）已知，且函數與函數的圖象交于，兩點，且線段的中點為，證明：.

【題目】某中學為研究學生的身體素質與體育鍛煉時間的關系，對該校名高三學生平均每天體育鍛煉時間進行調查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）

將學生日均體育鍛煉時間在的學生評價為“鍛煉達標”．

（1）請根據上述表格中的統計數據填寫下面列聯表：

并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關？

（2）在“鍛煉達標”的學生中，按男女用分層抽樣方法抽出人，進行體育鍛煉體會交流．

（i）求這人中，男生、女生各有多少人？

（ii）從參加體會交流的人中，隨機選出人發言，記這人中女生的人數為，求的分布列和數學期望．

參考公式：，其中．

臨界值表：

【題目】已知函數，其中，為自然對數的底數.

（1）當時，證明：對；

（2）若函數在上存在極值，求實數的取值范圍。

【題目】設橢圓()的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設圓上任意一點處的切線交橢圓于點，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.

【題目】如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，平面，，，是的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值.

A. 72種 B. 36種 C. 24種 D. 18種

【題目】已知函數．

（1）設,

①當時，求曲線在點處的切線方程；

②當時，求證：對任意恒成立．

（2）討論的極值點個數．

【題目】已知橢圓上一點與橢圓右焦點的連線垂直于軸，過橢圓上一點的直線與橢圓交于兩點（均不在坐標軸上），設為坐標原點，過的射線與橢圓交于點．

（1）若，求實數的值；

（2）當為時，若四邊形的面積為12，試求直線的方程．

【題目】江南某濕地公園內有一個以為圓心，半徑為20米的圓形湖心洲．該湖心洲的所對兩岸近似兩條平行線，且兩平行線之間的距離為70米．公園管理方擬修建一條木棧道,其路線為(如圖，在右側）．其中，與圓相切于點，米．設，滿足．

（1）試將木棧道的總長表示成關于的函數，并指出其定義域；

（2）求木棧道總長的最短長度．

【題目】設函數的兩個極值點分別為，若恒成立，則實數的取值范圍是_______．