Question

如圖所示的豎直平面內有范圍足夠大、水平向左的勻強電場，在虛線的左側有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，一絕緣軌道由兩段直桿和一半徑為R的半圓環組成，固定在紙面所在的豎直平面內，PQ、MN水平且足夠長，半圓環MAP在磁場邊界左側，P、M點在磁場邊界線上，NMAP段光滑，PQ段粗糙．現有一質量為m、帶電荷量為＋q的小環套在MN桿上，它所受到的電場力為重力的1/2.現將小環從M點右側的D點由靜止釋放，小環剛好能到達P點．

(1)求D、M間距離x₀；
(2)求上述過程中小環第一次通過與O等高的A點時半圓環對小環作用力的大小；
(3)若小環與PQ間動摩擦因數為μ(設最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等)，現將小環移至M點右側5R處由靜止釋放，求小環在整個運動過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

(1)4R　(2)qB＋mg　(3) mgR

(1)小環從D點經M點到P點，由動能定理得
qEx₀－mg×2R＝0
得x₀＝4R.
(2)設小環到A點時的速度為v，有
qE(x₀＋R)－mgR＝mv²
在A點由牛頓第二定律得
F_N－qBv－qE＝m
得F_N＝qB＋mg.
(3)①若μmg≥qE，即μ≥，小環在PQ上運動到某點速度為零后靜止，設距P點距離為x，則
qE(5R－x)－mg×2R－μmgx＝0
得x＝R
則W_f＝mgR
②若μmg＜qE，最后小環在PD間做往復運動，有
qE×5R－mg×2R－W＝0
得W＝mgR.