Question

如圖所示，豎直平面內的3/4圓弧形光滑軌道半徑為R，C端與圓心O等高，D端在O的正上方，BE為與水平方向成θ=45°角的光滑斜面，B點在C端的正上方．一個可看成質點的小球從A點由靜止開始釋放，自由下落至C點后進入圓弧形軌道，過D點后恰好從斜面BE的B點滑上斜面（無碰撞現象）．
（1）求過D點時小球對軌道的作用力；
（2）求釋放點A到地面的豎直高度H；
（3）欲使小球能落到斜面BE上的E點，求釋放點A到地面的豎直高度h．

Answer 1

分析：（1）小球從D到B點做平拋運動，飛到B點速度與水平成45°，運用速度的分解和平拋運動的規律，求出小球經過D點時的速度，由牛頓第二定律求解過D點時小球對軌道的作用力；
（2）根據機械能守恒定律，研究從A經C到D過程，即可求得H；
（3）小球落到B點時，由幾何關系求出D與B高度差，小球從D平拋飛至E點，由平拋運動的規律求出小球經過D點時的速度，即可由機械守恒定律求出h．

解答：解：（1）小球從D平拋至B恰好與斜面無碰撞，則飛到B點速度與水平成45°，故有：
   v_BX=v_D…①
   v_By=gt…②
且tan45°=

vBy

vD

…③
   R=v_Dt…④
解得：vD=

gR

，t=

R g

小球過D點有：F+mg=m

v 2 D

R

…⑤
解得F=0，即小球對軌道恰無壓力．
（2）從A經C到D，由機械能守恒有：
  mg(H-2R)=

1

2

m

v

2 D

…⑥
解得H=2.5R
（3）小球落到B點時，D與B高度差 h=

1

2

gt2=0.5R…⑦
即B點距E高度為1.5R
要使小球從D平拋飛至E點須  2R=

1

2

gt′2…⑧
  R+1.5Rcot45°=v′_D?t′…⑨
解得：v′D=1.25

gR

同理從A到D結合⑥式解得：H′=

89

32

R
答：（1）求過D點時小球對軌道的作用力是零；
（2）釋放點A到地面的豎直高度H是2.5R；
（3）欲使小球能落到斜面BE上的E點，釋放點A到地面的豎直高度是

89

32

R．

點評：本題是機械能守恒定律、牛頓第二定律和平拋運動的綜合，關鍵是把握每個過程的物理規律．