Question

鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的．彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)外軌高度差h的設(shè)計不僅與r有關(guān)，還取決于火車在彎道上的行駛速率．下圖表格中是鐵路設(shè)計人員技術(shù)手冊中彎道半徑r及與之對應的軌道的高度差h．

彎道半徑r/m	660	330	220	165	132	110
內(nèi)外軌高度差h/mm	50	100	150	200	250	300

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試導出h和r關(guān)系的表達式，并求出當r=440m時，h的設(shè)計值；
（2）鐵路建成后，火車通過彎道時，為保證絕對安全，要求內(nèi)外軌道均不向車輪施加側(cè)向壓力，又已知我國鐵路內(nèi)外軌的間距設(shè)計值為L=1435mm，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，算出我國火車的轉(zhuǎn)彎速率v（以km/h為單位，結(jié)果取整數(shù)；路軌傾角很小時，正弦值按正切值處理）
（3）隨著人們生活節(jié)奏加快，對交通運輸?shù)目旖萏岢隽烁�高的要求．為了提高運輸力，國家對鐵路不斷進行提速，這就要求鐵路轉(zhuǎn)彎速率也需要提高．請根據(jù)上述計算原理和上述表格分析提速時應采取怎樣的有效措施？

Answer 1

解：（1）分析表中數(shù)據(jù)可得，每組的h與r之乘積均等于常數(shù)
C=660m×50×10^-3m=33m²
因此 h?r=33（或h=33） ①
當r=440m時，有：
h=m=0.075m=75mm
（2）轉(zhuǎn)彎中，當內(nèi)外軌對車輪沒有側(cè)向壓力時，火車的受力如圖所示．由牛頓第二定律得： ②
因為θ很小，有： ③
由②，③可得： ④
代入數(shù)據(jù)得：v=15m/s=54km/h
（3）由④式可知，可采取的有效措施有：
a．適當增大內(nèi)外軌的高度差h；
b．適當增大鐵路彎道的軌道半徑r．
答：（1）當r=440m時，h的設(shè)計值為75mm；
（2）我國火車的轉(zhuǎn)彎速率v為54km/h；
（3）為了提速應采取的措施有：a．適當增大內(nèi)外軌的高度差h；b．適當增大鐵路彎道的軌道半徑r．
分析：（1）由于660×50=330×100=220×150為定值即hr=33m²，故可以求出當r=440m時h的設(shè)計值；
（2）因為火車運動的軌跡圓沿水平方向，轉(zhuǎn)彎中，當內(nèi)外軌對車輪沒有側(cè)向壓力時，軌道的支持力在豎直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力恰好提供向心力，故有，再根據(jù)當θ很小，有：，即可求出火車轉(zhuǎn)彎的速率v．
（3）根據(jù)（2）中速率v的表達式即可找到可采取的有效措施．
點評：軌道的支持力在豎直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力提供向心力，一定不能沿斜面和垂直于斜面分解重力，因為火車運動的軌跡圓沿水平方向而不是沿斜面方向．