Question

（2012?湖南模擬）如圖甲所示，水平地面上有一輛小車，小車上固定有豎直光滑絕緣管，管長為L，管內底部有一質量m=0.2g，電荷量q=+8×10^-5C的小球，小球的直徑比管的內徑略小．在管口所在水平面MN的下方存在著垂直紙面向里、磁感應強度B₁=15T的勻強磁場，MN面上方存在著垂直紙面向外、磁感應強度B₂=15T的勻強磁場，MN上下的整個區域還存在著豎直向上、場強E=25V/m的勻強電場．現讓小車始終保持v=2m/s的速度勻速向右運動，以帶電小球剛經過場的邊界PQ為計時的起點，測得小球對管側壁的彈力F_N隨小球到管底的高度h的變化關系如圖乙所示．g取10m/s²，不計空氣阻力．求：
（1）小球剛進入磁場B₁時的加速度大小a；
（2）絕緣管的長度L；
（3）小球離開管后每次經過水平面MN時小球距管口的距離△x．

Answer 1

分析：（1）小球在水平方向上隨小車做勻速直線運動，剛進入磁場時，在豎直方向上對小球受力分析，受到豎直向下的重力和豎直向上的電場力以及洛倫茲力，在豎直方向上利用牛頓第二定律可求出小球的加速度．
（2）在小球剛要離開管口時，在水平方向上合力為零，在水平方向上受管側壁的彈力和洛倫茲力（此力是速度在豎直方向上的分量產生的）結合牛頓運動定律和運動學公式可求出絕緣管的長度．
（3）當小球離開管口進入復合場時，對其受力分析，受到重力、電場力和洛倫茲力，經計算可判斷重力和電場力平衡，可知小球會在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動，做出小球的運動軌跡圖，利用有邊界磁場的運動規律可求出小球和管口在水平方向上的位移之差．

解答：解：
（1）小球在管內運動時，以小球為研究對象，小球受到豎直向下的重力、豎直向上的電場力和大小恒定、方向豎直向上的洛倫茲力，設加速度為a，由牛頓第二定律有：
qB₁v+qE-mg=ma
則：a=

qB1v+Eq-mg

m

=12m/s2；
（2）小球在管中豎直方向做勻加速直線運動，在小球運動到管口時，F_N=2.4×10^-3N，設v₁為小球豎直分速度，水平方向有：
F_N-qv₁B₁=0
解得：v1=

FN

qB1

=2m/s
豎直方向有：v₁²=2aL
解得：L=

v 2 1

2a

=

1

6

m
（3）小球離開管口進入復合場，小球受到豎直向下的重力、豎直向上的電場力和方向隨時發生變化的洛倫茲力，
其中：
qE=8×10^-5×25=2×10^-3N
mg=0.2×10^-3×10=2×10^-3N
有qE=mg，故電場力與重力平衡，小球在復合場中做勻速圓周運動，合速度v'與MN成45°角，軌道半徑為R，（如圖）qvB2=

mv′2

R

R=

mv′

qB2

=

2

3

m
小球離開管口開始計時，到再次經過MN所通過的水平距離
x1=2Rsin45°=

2

R=

2

3

m
T=

2πR

v′

=

2πm

qB2

對應的時間有：
t=

1

4

T=

πm

2qB2

=

π

12

s
設小車運動的距離為x₂
x2=vt=2×

π

12

=

π

6

s
若小球再經過MN時，有：
△x=n（x₁-x₂）
解得：△x=

n

3

(2-

π

2

)m    n=1、2、3、…
答：（1）小球剛進入磁場B₁時的加速度大小為12m/s²
    （2）絕緣管的長度為

1

6

m
    （3）小球離開管后每次經過水平面MN時小球距管口的距離為△x=

n

3

(2-

π

2

)m    n=1、2、3、…

點評：該題考查了帶電粒子在復合場中的運動，對復合場的理解和運動過程的分析是解決此類問題的關鍵．
復合場：即在同一區域內同時有電場、磁場和重力場，此類問題看似簡單，受力也不復雜，但仔細分析其運動往往比較難以把握．
帶電粒子在復合場中運動的分析方法和一般思路：
①當帶電粒子所受合外力為零時，將做勻速直線運動或處于靜止狀態．合外力恒定且與初速同向時做勻變速直線運動，常見的情況有：
Ⅰ、洛倫茲力為零（即v∥B），重力與電場力平衡，做勻速直線運動；或重力與電場力的合力恒定，做勻變速運動．
Ⅱ、洛倫茲力f_洛與重力和電場力的合力平衡，做勻速直線運動．
②帶電粒子所受合外力做向心力，帶電粒子做勻速圓周運動時．由于通常情況下，重力和電場力為恒力，故不能充當向心力，所以一般情況下是重力恰好與電場力相平衡，洛倫茲力是以上力的合力．
③當帶電粒子受的合力大小、方向均不斷變化時，粒子做非勻變速曲線運動．