Question

如圖所示，豎直平面內(nèi)有一半徑為r、內(nèi)阻為R₁、粗細(xì)均勻的光滑半圓形金屬環(huán)球，在M、N處與相距為2r、電阻不計(jì)的平行光滑金屬軌道ME、NF相接，EF之間接有電阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)I和II，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．現(xiàn)有質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的導(dǎo)體棒ab，從半圓環(huán)的最高點(diǎn)A處由靜止下落，在下落過(guò)程中導(dǎo)體棒始終保持水平，與半圓形金屬環(huán)及軌道接觸良好，且平行軌道足夠長(zhǎng)．已知導(dǎo)體棒ab下落r/2時(shí)的速度大小為v₁，下落到MN處的速度大小為v₂．
（1）求導(dǎo)體棒ab下落到

r

2

時(shí)的加速度大小．
（2）若導(dǎo)體棒ab進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅱ后棒中電流大小始終不變，求磁場(chǎng)I和Ⅱ之間的距離h和R₂上的電功率P₂．

Answer 1

分析：導(dǎo)體棒在重力作用下切割磁感線，從而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，閉合電路出現(xiàn)感應(yīng)電流，導(dǎo)致棒受到安培力．由速度可求出此時(shí)的安培力大小，再由牛頓第二定律可算出加速度．當(dāng)電流大小不變時(shí)，則此時(shí)棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以由受力平衡可算出棒的速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出距離h．而R₂上的電功率與R₁上的電功率之和正好等于棒下落過(guò)程中的重力功率．

解答：解：（1）以導(dǎo)體棒為研究對(duì)象，棒在磁場(chǎng)I中切割磁感線，棒中產(chǎn)生產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，導(dǎo)體棒ab從A下落

r

2

時(shí)，導(dǎo)體棒在重力與安培力作用下做加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，得
mg-BIL=ma，式中l(wèi)═

3

r  I=

BLv1

R總

式中 R_總=

8R×(4R+4R)

8R+(4R+4R)

=4R
 
由以上各式可得：a=g-

3B2r2v1

4mR

 
 
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒ab通過(guò)磁場(chǎng)II時(shí)，若安培力恰好等于重力，棒中電流大小始終不變，即
 mg=BI2r=

4B2r2vt

R并

  式中　R并=

12R×4R

12R+4R

=3R
 
解得：vt=

mgR并

4B2r2

=

3mgR

4B2r2

 
導(dǎo)體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有
             

v

2 t

-v

2 2

=2gh
 得　h=

9m2gr2

32B4r4

-

v 2 2

2g

 此時(shí)導(dǎo)體棒重力的功率為
 PG=mgvt=

3m2g2R

4B2r2

 根據(jù)能量守恒定律，此時(shí)導(dǎo)體棒重力的功率全部轉(zhuǎn)化為電路中的電功率，即
 P_電=P₁+P₂=P_G
 所以P2=

3

4

PG=

9m2g2R

16B2r2

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，電路中出現(xiàn)電流，從而有安培力．由于安培力是與速度有關(guān)系的力，因此會(huì)導(dǎo)致加速度在改變．所以當(dāng)安培力不變時(shí)，則一定處于平衡狀態(tài)．