Question

（2006?東城區一模）如圖所示，ABDO是處于豎直平面內的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的

1

4

圓周軌道，半徑OA處于水平位置，BDO是直徑為15m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央．一個小球P從A點的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內的軌 道通過D點時對軌道的壓力等于其重力的

14

3

倍．取g=10m/s²．
（1）H的大小？
（2）試討論此球能否到達BDO軌道的O點，并說明理由．
（3）小球沿軌道運動后再次落到軌道上的速度的大小是多少？

Answer 1

分析：（1）設小球通過D點的速度為v，根據向心力公式列出方程，小球從P點落下直到沿光滑軌道運動的過程中，機械能守恒，可解得H的高度；
（2）先求出0點的最小速度，然后根據機械能守恒定律得到要到達0點需要從多高的地方下落，把這個高度和H進行比較即可解題；
（3）先求出小球由H落下通過O點的速度，小球通過O點后作平拋運動，設小球經時間t落到AB圓弧軌道上，根據幾何關系即可求解．

解答：解：（1）設小球通過D點的速度為v，則有：
m

v2

R 2

=F=

14

3

mg
小球從P點落下直到沿光滑軌道運動的過程中，機械能守恒，有mg（H+

R

2

）=

1

2

mv2
可得高度H=

2

3

R=10m
（2）設小球能夠沿豎直半圓軌道運動到O點的最小速度為v_c，有m

vC2

R 2

=mg
小球至少應從H_c高處落下，mgHC=

1

2

mvC2
解得HC=

R

4

   由H＞H_C，小球可以通過O點．
（3）小球由H落下通過O點的速度為v0=

2gH

=14.1m/s
小球通過O點后作平拋運動，設小球經時間t落到AB圓弧軌道上，有
x=v₀t
y=

1

2

gt2      
且x²+y²=R²
可解得時間t=1s  （另解舍棄）  
落到軌道上速度的大小v=

v02+g2t2

=17.3m/s

點評：整個過程中物體的機械能守恒，離開O點小球做平拋運動，直到落到軌道上，知道物體的運動過程，根據物體的不同的運動狀態，采用相應的物理規律求解即可．