Question

如圖所示，兩互相平行的水平金屬導軌MN、PQ放在豎直平面內，相距為L=0.4cm，左端接平行板電容器，板間距離為d=0.2m，右端接滑動變阻器R（R的最大阻值為Ω），整個空間有水平勻強磁場，磁感應強度為B=10T，方向垂直于導軌所在平面．導體棒CD與導軌接觸良好，棒的電阻為r=1Ω，其它電阻及摩擦均不計，現對導體棒施加與導軌平行的大小為F=2N的恒力作用，使棒從靜止開始運動，取g=10m/s²．求：
（1）當滑動變阻器R接入電路的阻值最大時，拉力的最大功率是多大？
（2）當滑動觸頭在滑動變阻器中點且導體棒處于穩定狀態時，一帶電小球從平行板電容器左側沿兩極板的正中間射入，在兩極板間恰好做勻速直線運動；當滑動觸頭在滑動變阻器最下端且導體棒處于穩定狀態時，該帶電小球以同樣的方式和速度入射，在兩極間恰能做勻速圓周運動，求圓周的半徑是多大？

Answer 1

（1）當棒達到勻速運動時，金屬棒受到的安培力：
F_B=BIL=B

BLv

R+r

L=

B2L2v

R+r

，
由平衡條件得：F=F_B，即：F=

B2L2v

R+r

，
導體棒的速度v=

F(R+r)

B2L2

，
拉力功率P=Fv=

F2(R+r)

B2L2

可知，回路的總電阻越大時，拉力功率越大，當R=2Ω時，拉力功率最大，最大功率為P_m=0.75W；
（2）當觸頭滑到中點即R=1Ω時
棒勻速運動的速度v₁=

F(R+r)

B2L2

=0.25m/s
導體棒產生的感應電動勢E₁=BLv₁=10×0.4×0.25=1V
電容器兩極板間電壓U₁=

E1R

R+r

=0.5V，


由于棒在平行板間做勻速直線運動，則小球必帶正電
此時小球受力情況如圖所示，設小球的入射速度為v₀
由平衡條件知：F+f=G 即 q

U1

d

+qv₀B=mg…①
當滑頭滑至下端即R=2Ω時，棒的速度v₂=

F(R+r)

B2L2

=

3

8

m/s
導體棒產生的感應電動勢 E₂=BLv₂=1.5V
電容器兩極板間的電壓U₂=

E2R

R+r

=1V
由于小球在平行板間做勻速圓周運動
電場力與重力平衡，于是：q

U2

d

=mg…②
代入數值，由①②解得：v₀=

U2-U1

Bd

=0.25m/s
小球作圓周運動時洛侖茲力提供向心力
由牛頓第二定律得：qv₀B=m

v 20

r

小球作圓周運動的半徑為r=0.0125m
答：
（1）導體棒處于穩定狀態時拉力的最大功率是0.75W．
（2）小球在兩極板間恰好做勻速圓周運動的速度為0.25m/s，做圓周運動的軌道半徑為0.0125m．