Question

假若幾年后中國人乘宇宙飛船探索月球并完成如下實驗：①當飛船停留在距月球一定的距離時，正對著月球發出一個激光脈沖，經過時間t后收到反射回來的信號，并測得此刻月球對觀察者眼睛的視角為θ；②當飛船在月球表面著陸后，科研人員在距月球表面h處以初速度v₀水平拋出一個小球，并測出落點到拋出點的水平距離為s．已知萬有引力常量為G，光速為c，月球的自轉影響以及大氣對物體的阻力均不計．試根據以上信息，求：
（1）月球的半徑R；
（2）月球的質量M．

Answer 1

分析：（1）激光在真空中傳播速度為c，由題意，激光脈沖經過時間t后收到反射回來的信號，則飛船到月球表面的距離為d=c?

1

2

t．作出視角示意圖，由數學知識求月球的半徑．
（2）根據萬有引力等于重力，可列式求得月球表面的重力加速度與月球質量的關系．小球在月球表面做平拋運動的加速度就等于表面的重力加速度，根據平拋運動的規律求得重力加速度，聯立即可求得月球的質量．

解答：解：（1）設飛船離月球表面的距離為d，由題意得
      2d=ct
根據圖示示意圖，由幾何知識得 R=(d+R)sin

θ

2

解得：R=

ctsin θ 2

2(1-sin θ 2 )

（2）設月球表面的重力加速度為g_月，則
  mg_月=

GMm

R2

得 g月=

GM

R2

小球做平拋運動，則有
  h=

1

2

g月t2
  s=v₀t   
聯立解得：M=

c2t2 v 2 0 sin2 θ 2

2Gs2(1-sin θ 2 )2

答：
（1）月球的半徑R為

ctsin θ 2

2(1-sin θ 2 )

；
（2）月球的質量M為

c2t2 v 2 0 sin2 θ 2

2Gs2(1-sin θ 2 )2

．

點評：本題是幾何知識、萬有引力和平拋運動的綜合，對于常見的拋體運動與萬有引力的綜合題，要抓住它們之間聯系的紐帶是重力加速度．根據萬有引力等于重力，知道月球的半徑和表面的重力加速度即可求得月球的質量．