Question

【題目】如圖為某種魚(yú)餌自動(dòng)投放器的裝置示意圖,其下半部AB是一長(zhǎng)為2R的豎直細(xì)管,上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管,管口C處切線(xiàn)水平,AB管內(nèi)有原長(zhǎng)為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧。在彈簧上端放置一粒質(zhì)量為m的魚(yú)餌,解除鎖定后彈簧可將魚(yú)餌彈射出去。投餌時(shí),每次總將彈簧長(zhǎng)度壓縮到0.5R后鎖定,此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為6mgR(g為重力加速度)。不計(jì)魚(yú)餌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失,求:

(1)魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小v1。

(2)魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)對(duì)管子的作用力大小和方向。

(3)已知地面比水面高出1.5R,若豎直細(xì)管的長(zhǎng)度可以調(diào)節(jié),圓弧彎道管BC可隨豎直細(xì)管一起升降。求魚(yú)餌到達(dá)水面的落點(diǎn)與AB所在豎直線(xiàn)OO'之間的最大距離Lmax。

Answer 1

【答案】(1)　(2)6mg，方向向上　(3)9R

【解析】

根據(jù)能量守恒定律求出魚(yú)餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小；根據(jù)牛頓第二定律求出管口對(duì)魚(yú)餌的作用力大小，從而結(jié)合牛頓第二定律求出魚(yú)餌對(duì)管子的作用力大小和方向；根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出水平位移的表達(dá)式，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)得出魚(yú)餌到達(dá)水面的落點(diǎn)與AB所在豎直線(xiàn)OO′之間的最大距離。

解：(1)魚(yú)餌到達(dá)管口C的過(guò)程中彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為魚(yú)餌的重力勢(shì)能和動(dòng)能，有：

解得

(2)設(shè)C處管子對(duì)魚(yú)餌的作用力向下，大小設(shè)為F，

根據(jù)牛頓第二定律有：

解得

由牛頓第三定律可得魚(yú)餌對(duì)管子的作用力F′=6mg，方向向上。

(3)設(shè)AB長(zhǎng)度為h，對(duì)應(yīng)平拋水平距離為x，

由機(jī)械能守恒定律有：

由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得，

解得

當(dāng)時(shí)，x的最大值

則