Question

有一個單擺如圖所示,其擺長為l=1.02 m,擺球的質量為m=0.1 kg,從與豎直方向夾角θ=4° 的位置無初速度釋放,問:

(1)已知振動的次數為n=30次,所用時間為t=60.8 s,重力加速度g等于多少?

(2)擺球的最大回復力是多少?

(3)擺球經過最低點時的速度為多大?

(4)擺球在最低點時懸線的拉力為多大?

(5)如果這個擺改為秒擺,擺長應該怎樣改變?(已知:sin4°=0.069 8,cos4°=0.997 6,π=3.14)

Answer 1

(1)g=9.791 m/s²

(2)F₁=0.068 N

(3)v=0.219 m/s

(4)F_T=0.52 N

(5)Δl=l-l₀=(1.02-0.993) m=0.027 m.

解析：(1)由于θ=4°＜5°,所以單擺做的是簡諧運動,其周期T=t/n=60.8/30 s=2.027 s,根據:

T=2π,可得:

g== m/s²=9.791 m/s².

(2)當擺球處在最大位移處時即處在C或B時回復力最大,如圖當擺球在B點時,進行受力分析,重力沿切線方向的分力提供向心力,所以最大回復力為:

F₁=mgsin4°=0.1×9.791×0.069 8 N=0.068 N.

(3)擺球在擺動的過程中重力勢能和動能相互轉化,不考慮空氣阻力,擺球的機械能是守恒的,其總的機械能E等于在最高點時的勢能E_p或者等于在最低點時的動能E_k,設擺球在最低點時的速度等于v,則有:

mv²=mgl(1-cos4°)

即有:

v=

= m/s=0.219 m/s

(4)在最低點時,懸線和重力的合力提供擺球的向心力,所以,由F_T-mg=得,懸線的拉力為

F_T=mg+=0.1×10 N+ N=0.52 N.

(5)秒擺的周期T=2 s,設其擺長為l₀,根據:T=2π得T∶T₀=∶,所以有l₀== m=0.993 m,

所以其擺長要縮短:

Δl=l-l₀=(1.02-0.993) m=0.027 m.