Question

如圖所示一個(gè)擺長(zhǎng)為L(zhǎng)=10/π²米的單擺，擺球質(zhì)量為m=0.1千克，靜止于平衡位置．另有質(zhì)量均為m=0.1千克的小球n個(gè)與擺球在同一高度且在同一直線上，以相同的速度v=4米每秒向左運(yùn)動(dòng)，相鄰兩小球到達(dá)擺球平衡位置的時(shí)間間隔是1秒鐘．每一個(gè)小球與擺球相撞后都和擺球粘在一起共同運(yùn)動(dòng)．（擺球和小球均視為質(zhì)點(diǎn)，g=10m/s²）
求：（1）擺球擺動(dòng)的最大高度
（2）第8個(gè)小球與擺球相撞后，擺球的速度
（3）第n個(gè)小球與擺球相撞后單擺獲得的動(dòng)能．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)單擺的周期公式，代入數(shù)據(jù)，求出周期，并根據(jù)動(dòng)量守恒定律，與能量守恒相結(jié)合，即可求解；
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律，從而可得出結(jié)論；
（3）對(duì)第n個(gè)小球與擺球相撞后，運(yùn)用動(dòng)量守恒定律，并通過(guò)動(dòng)能表達(dá)，即可求解．

解答：解：?jiǎn)螖[的周期：T=2π

l g

=2π

10 π2g

 s=2s
擺球碰撞后再回到平衡位置的時(shí)間是1s，每次擺球回到平衡位置時(shí)跟下一個(gè)小球碰撞
（1）第一個(gè)小球碰撞后
動(dòng)量守恒定律，mv=2mv₁     
則有v₁=

v

2

以后的小球與擺球碰撞后由于質(zhì)量的增加速度逐漸減小，所以擺球擺動(dòng)的最大高度是第一個(gè)小球碰撞后
2mgh=2×

1

2

mv₁²
解得：h=0.2m
（2）第二個(gè)小球與擺球碰撞后
動(dòng)量守恒定律，2mv₁-mv=3mv₂    v₂=0  即碰后擺球靜止
同理：第3、5、7、9…個(gè)小球碰后，擺球擺動(dòng)；
第2、4、6、8…個(gè)小球碰后擺球靜止
所以，第8個(gè)小球與擺球相撞后，擺球的速度是零  v₈=0
（3）第n個(gè)小球與擺球相撞后
若n為奇數(shù)：則v_n-1=0
動(dòng)量守恒定律，mv=（n+1）mv_n  
解得：v_n=

v

n+1

此時(shí)單擺的動(dòng)能：E_k=（n+1）

1

2

mv_n²=

1

2

mv²（n+1）=

0.8

n+1

J
若n為偶數(shù)：則：v_n=0 單擺獲得的動(dòng)能為零
答：（1）擺球擺動(dòng)的最大高度為0.2m；
（2）第8個(gè)小球與擺球相撞后，擺球的速度為0；
（3）第n個(gè)小球與擺球相撞后單擺獲得的動(dòng)能為

0.8

n+1

J．

點(diǎn)評(píng)：考查單擺周期公式的應(yīng)用，涉及動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律、及動(dòng)能表達(dá)式，并掌握動(dòng)量守恒定律的條件判定，同時(shí)注意其矢量性．