Question

如圖所示，相互平行的光滑金屬導軌固定在傾角為θ=30°的絕緣斜面上，相距為L，導軌下端連接一個定值電阻R₁，上端通過開關S（S是閉合的）連接一個定值電阻R₂．導體棒ab放在導軌上靠近下端的位置，與導軌垂直并接觸良好．在導軌平面上虛線MN以下的區域內，存在著垂直穿過斜面向上的勻強磁場．現對導體棒施加平行導軌向上的恒定拉力F，使它沿導軌先向上加速運動，在到達虛線MN之前，導體棒已經開始做勻速運動，速度大小為v=

Lg

．當導體棒到達MN時，立即撤去拉力F，導體棒向上運動一段后又向下滑動，在導體棒再次進入磁場前斷開開關S，導體棒進入磁場后又恰好做勻速運動．已知R₁=R₂=R，導體棒的阻值為r=

R

2

、質量為m，重力加速度為g，導體棒的起始位置曲到MN的距離為2L，導軌電阻不計．求：
（1）磁感應強度B和拉力F的大小；
（2）導體棒從ab開始運動到回到初始位置ab的過程中電阻R₁產生的熱量Q₁；
（3）若在導體棒ab再次進入磁場時沒有斷開開關S，則導體棒ab將如何運動．

Answer 1

分析：（1）由題，ab棒在到達MN之前已經做勻速運動，受力平衡，由平衡條件可得到拉力F與重力、安培力的關系式，并由法拉第定律、歐姆定律推導出安培力與速度的關系；當導體棒到達MN時，立即撤去拉力F，導體棒先向上做勻減速運動，后向下做勻加速運動，兩個過程加速度相同，兩個過程具有對稱性，棒滑回MN時的速度大小相等．由題，導體棒進入磁場后又恰好做勻速運動，再用同樣的方法得到拉力F與重力、安培力的關系式，聯立幾個關系式，即可求得B和F．
（2）根據能量守恒列式，分別對ab棒在磁場中上滑和下滑時回路產生的熱量，再根據串并聯關系求解電阻R₁產生的熱量Q₁；
（3）若在導體棒ab再次進入磁場時沒有斷開開關S，分析安培力與重力沿斜面向下的分力關系，判斷其運動情況．

解答：解：（1）棒ab到達MN前已經開始做勻速運動，受力平衡，則有
    F=mgsinθ+F_A1，
而又有F_A1=BI₁L，I₁=

BLv

1 2 R+r

=

BLv

1 2 R+ 1 2 R

=

BLv

R

，
得F_A1=

B2L2v

R

聯立以上各式得 F=mgsinθ+

B2L2v

R

 ①
ab棒滑回到MN時，速度大小仍為v，也做勻速運動，則有
   mgsinθ=F_A2，
又F_A2=BI₂L，I2=

BLv

R+ 1 2 R

，
得F_A2=

2B2L2v

3R

由上面兩式得：mgsinθ=

2B2L2v

3R

 ②
由題，v=

Lg

聯立①②③解得，B=

3mgRsinθ

2L2 Lg

=

3mgR

4L2 Lg

，F=2.5mgsinθ=1.25mg．
（2）根據能量守恒得
ab棒上滑過程：F?2L=Q_R1+Q_R2+Q_r+mgsinθ?2L+

1

2

mv2
而Q_R1=Q_R2，Q_r=Q_R1+Q_R2，
解得：Q_R1=

1

4

（3mgsinθL-

1

2

mgL）=

1

4

mgL
ab棒下滑過程：mgsinθ?2L=Q_R1′+Q_r′
又Q_R1′=2Q_r′
解得，Q_R1′=

4

3

mgLsinθ=

2

3

mgL
故整個過程中，電阻R₁產生的熱量Q₁=Q_R1+Q_R1′=

11

12

mgL
（3）若在導體棒ab再次進入磁場時沒有斷開開關S，ab棒再次進入磁場時，所受的安培力大小等于F_A1，
由上知道，F_A1＞F_A2，mgsinθ=F_A2，
故有mgsinθ＜F_A1，則知ab棒再次進入磁場時所受安培力大于重力沿斜面向下的分力，則ab棒將做減速運動，安培力減小，加速度減小，即導體棒ab做加速度減小的減速運動．
答：
（1）磁感應強度為

3mgR

4L2 Lg

，拉力F的大小為1.25mg；
（2）導體棒從ab開始運動到回到初始位置ab的過程中電阻R₁產生的熱量Q₁為

11

12

mgL．
（3）若在導體棒ab再次進入磁場時沒有斷開開關S，則導體棒ab做加速度減小的減速運動．

點評：本題關鍵是通過分析棒ab的受力情況來分析其運動情況，安培力的計算是關鍵，還要抓住對稱性，分析得出ab棒返回時MN時的速度與上滑時速度大小相等．