Question

如圖所示，將質量為m的小滑塊與質量為M=3m的光滑凹槽用輕質彈簧相連．現使凹槽和小滑塊以共同的速度v₀沿光滑水平面向左勻速滑動，設凹槽長度足夠長，且凹槽與墻壁碰撞時間極短．
（1）若凹槽與墻壁發生碰撞后速度立即變為零，但與墻壁不粘連，求凹槽脫離墻壁后的運動過程中彈簧的最大彈性勢能△E_P；
（2）若凹槽與墻壁發生碰撞后立即反彈，且再次達到共同速度時彈簧的彈性勢能為

2

3

m

v

2 0

，求這次碰撞過程中損失的機械能△E₁；
（3）試判斷在第（2）問中凹槽與墻壁能否發生第二次碰撞？若不能，說明理由．若能，求第二次碰撞過程中損失的機械能△E₂．（設凹槽與墻壁每次碰撞前后速度大小之比不變）

Answer 1

分析：（1）框架與墻壁碰撞后，物塊以v₀壓縮彈簧，后又返回，由機械能守恒可知，碰后速度仍為v₀方向向右．
設彈簧有最大勢能時共同速度為v，根據動量守恒定律和能量守恒定律列式即可求解；
（2）設框架反彈速度為v₁、最大勢能時共同速度為v，則由動量、能量守恒定律即可求解v₁、和v，從而求解損失量；
（3）由（2）知第一次碰后反彈后，二者總動量為零，故當彈簧再次伸展后仍可繼續與墻壁相撞，并以v₁的速度與墻壁相撞，根據速度的比值關系求得碰后速度即可求解機械能損失量．

解答：解：（1）凹槽與墻壁碰撞后，滑塊壓縮彈簧，后又返回，當彈簧恢復原長時，凹槽將離開墻壁，此時，小滑塊的速度大小為v₀，方向水平向右．設彈簧具有最大彈性勢能時共同速度為v，對凹槽、小滑塊、彈簧組成的系統，選取水平向右為正方向，
根據動量守恒定律，有 mv₀=4mv，
根據機械能守恒定律，有

1

2

mv₀²=

1

2

×4mv²+E_Px，
解得：E_PX=

3

8

mv₀²；       
（2）設凹槽反彈速度為v₁，根據動量守恒定律和能量守恒定律，有
3mv₁-mv₀=4mv′，

1

2

×3mv₁²+

1

2

mv₀²=

1

2

×4mv′²+

2

3

mv₀²，
解得：v₁=

v0

3

，v₁′=-

7

3

v₀（舍去），
代入解得：v′=0，
△E₁=

1

2

×3mv₀²-

1

2

×3mv₁²=

4

3

mv₀²，
（3）由第（2）問可知，第一次碰撞后系統的總動量為零，系統達到共同速度v′=0時，
彈簧壓縮量最大，以后，彈簧釋放彈性勢能，根據對稱性可知，凹槽將以v₁=

v0

3

，的速度再次與墻壁碰撞．
根據題意，有

v2

v1

=

v1

v0

，
解得v₂=

v0

9

，
故△E₂=

1

2

×3m

v

2 1

-

1

2

×3m

v

2 2

=

4

27

mv₀²，
答：（1）彈簧彈性勢能的最大值為

3

8

mv₀²； 
（2）框架與墻壁碰撞時損失的機械能為

4

3

mv₀²；
（3）能，第二次碰撞時損失的機械能為

4

27

mv₀²．

點評：本題主要考查了動量守恒定律和能量守恒定律的直接應用，要求同學們能正確分析物體的運動過程，難度適中．