Question

在xoy平面直角坐標系的第Ⅰ象限有射線OA，OA與x軸正方向夾角為30°，如圖所示，OA與y軸所夾區域存在y軸負方向的勻強電場，其它區域存在垂直坐標平面向外的勻強磁場；有一帶正電粒子質量m，電量q，從y軸上的P點沿著x軸正方向以大小為v₀的初速度射入電場，運動一段時間沿垂直于OA方向經過Q點進入磁場，經磁場偏轉，過y軸正半軸上的M點再次垂直進入勻強電場。已知OP = h，不計粒子的重力。

⑴ 求粒子垂直射線OA經過Q點的速度v_Q；
⑵ 求勻強電場的電場強度E與勻強磁場的磁感應強度B的比值；
⑶ 粒子從M點垂直進入電場后，如果適當改變電場強度，可以使粒子再次垂直OA進入磁場，再適當改變磁場的強弱，可以使粒子再次從y軸正方向上某點垂直進入電場；如此不斷改變電場和磁場，會使粒子每次都能從y軸正方向上某點垂直進入電場，再垂直OA方向進入磁場……，求粒子從P點開始經多長時間能夠運動到O點？

Answer 1

（1） （2）  （3）

試題分析：⑴設垂直OA到達Q點的速度為，將速度分解為水平方向的和豎直方向的，如圖所示，則
，（1分）
（1分）
⑵做出粒子在磁場中的運動軌跡如圖，根據幾何知識可得出原點O即為軌跡圓的圓心，OQ為軌跡圓的半徑，設為R。

在電場中的運動，由類平拋的知識可得：
，，
可求得（1分）
在磁場中的運動，由圓周運動的知識可得：
，。   （1分）
所以    （1分）
⑶設粒子第一次在磁場中做圓周運動的半徑為R₁，在電場中運動的時間為t₁₁，在磁場中運動的時間為t₁₂，在電場、磁場中運動的總時間為t₁，則有
，，    （1分）
又由解得，    （1分）
從而有      （1分）
由題意知，改變電場、磁場的強弱后，粒子重復前面的運動情況，又設粒子第二次在磁場中做圓周運動的半徑為R₂，在電場中運動的時間為t₂₁，在磁場中運動的時間為t₂₂，在電場、磁場中運動的總時間為t₂，類似上面的求解，有
，，
又由解得，，將此結果代入上式可得
      （1分）
…………
類推可知，粒子第n次在電場、磁場中運動的總時間        （1分）
所以粒子最終運動到O點的時間為
       （1分）