Question

（2006?海淀區二模）如圖所示，在水平地面上放置一塊質量為M的長平板B，在平板的上方某一高度處有一質量為m的物塊P由靜止開始落下．在平板上方附近存在“相互作用”的區域（如圖中虛線所示區域），當物塊P進入該區域內，B便會對P產生一個豎直向上的恒力f作用，使得P恰好不與B的上表面接觸，且f=kmg，其中k=11．在水平方向上P、B之間沒有相互作用力．已知平板與地面間的動摩擦因數μ=2.0×10^-3，平板和物塊的質量之比M/m=10．在P開始下落時，平板B向右運動的速度v₀=1.0m/s，P從開始下落到進入相互作用區域經歷的時間t₀=2.0s．設平板B足夠長，保證物塊P總能落到B板上方的相互作用區域內，忽略物塊P受到的空氣阻力，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）物塊P從開始下落到再次回到初始位置所經歷的時間．
（2）從物塊P開始下落到平板B的運動速度減小為零的這段時間內，P能回到初始位置的次數．

Answer 1

分析：（1）根據自由落體運動的公式求出物體P進入相互作用區域時的速度大小，結合牛頓第二定律求出進入相互作用區域的加速度，通過運動學公式，抓住運動的對稱性求出物塊P從開始下落到再次回到初始位置所經歷的時間．
（2）根據動量定律求出在一個周期內動量的變化量，得出速度的變化量，從而通過整個過程中速度的變化量求出物塊P開始下落到平板B的運動速度減小為零的這段時間內，P能回到初始位置的次數．

解答：解：（1）物塊P進入相互作用區域時的速度為V₁，則
v₁=gt₀=20m/s                                
物塊P從進入相互作用區域到速度減小為零的過程中，受到重力和平板的相互作用，設物塊在相互作用區域內的下落的加速度為a，根據牛頓第二定律：
kmg-mg=ma
設在相互作用區域內的下落時間為t，根據運動學公式
t=

v1

a

而物塊從開始下落到回到初始位置的時間
T=2（t+t₀）=

2k

k-1

t0=4.4s．
（2）設在一個運動的周期T內，平板B的速度減小量為△v，根據動量定理有
μMg?2t₀+μ（Mg+f）?2t=M△v
解得      △v=

2μgkt0(1+ m M )

k-1

=9.7×10^-3m/s．                       
P回到初始位置的次數 n=

v0

△v

=10.3，
n應取整數，即n=10．                                            
答：（1）物塊P從開始下落到再次回到初始位置所經歷的時間為4.4s．
（2）從物塊P開始下落到平板B的運動速度減小為零的這段時間內，P能回到初始位置的次數為10．

點評：本題綜合考查了動量定理、牛頓第二定律、運動學公式等，綜合性較強，難度中等，需加強這類題型的訓練．