Question

(15分)如圖甲所示，彎曲部分AB和CD是兩個半徑相等的1/4圓弧，中間的BC段是豎直的薄壁細圓管(細圓管內徑略大于小球的直徑)，分別與上下圓弧軌道相切連接，BC段的長度L可作伸縮調節，下圓弧軌道與地面相切，其中D、A分別是上、下圓弧軌道的最高點與最低點，整個軌道固定在豎直平面內，一小球多次以某一速度從A點水平進入軌道而從D點水平飛出，今在A、D兩點各放一個壓力傳感器，測試小球對軌道A、D兩點的壓力，計算出壓力差ΔF，改變BC的長度L，重復上述實驗，最后繪得的ΔF-L圖象如圖乙所示。(不計一切摩擦阻力，g取10m/s²)

⑴某一次調節后，D點的離地高度為0.8m，小球從D點飛出，落地點與D點的水平距離為2.4m，求小球經過D點時的速度大小；
⑵求小球的質量和彎曲圓弧軌道的半徑。

Answer 1

⑴v_D＝6m/s；⑵m＝0.2kg，r＝0.4m

試題分析：⑴設小球經過D點時的速度為v_D，小球從D點離開后做平拋運動，在豎直方向上為自由落體運動，設運動時間為t，根據自由落體運動規律有：h＝         ①
在水平方向上為勻速運動，有：x＝v_Dt         ②
由①②式聯立解得：v_D＝＝6m/s
⑵設小球的質量為m，圓軌道的半徑為r，在D點時，根據牛頓第二定律有：F_D＋mg＝      ③
在A點時，根據牛頓第二定律有：F_A－mg＝         ④
小球在整個運動過程中機械能守恒，有：mg(2r＋L)＝－           ⑤
由③④⑤式聯立解得：ΔF＝F_A－F_D＝2mg＋6mg
即ΔF與L呈一次函數關系，對照ΔF-L圖象可知，其縱截距為：b＝6mg＝12N           ⑥
其斜率為：k＝＝10N/m           ⑦
由⑥⑦式聯立解得：m＝0.2kg，r＝0.4m