Question

如圖所示，遙控電動賽車（可視為質點）從A點由靜止出發，經過時間t后關閉電動機，賽車繼續前進至B點后進入固定在豎直平面內的圓形光滑軌道，通過軌道最高點P后又進入水平軌道CD上．已知賽車在水平軌道AB部分和CD部分運動時受到阻力恒為車重的0.5倍，即k=F_f/mg=0.5，賽車的質量m=0.4kg，通電后賽車的電動機以額定功率P=2W工作，軌道AB的長度L=2m，圓形軌道的半徑R=0.5m，空氣阻力可忽略，取重力加速度g=10m/s²．某次比賽，要求賽車在運動過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運動的路程最短．在此條件下，求：
（1）小車在CD軌道上運動的最短路程；
（2）賽車電動機工作的時間．

Answer 1

分析：賽車在電動機牽引力作用下從靜止開始加速運動，之后關閉發動機滑行，正好能在運動過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運動的路程最短．因此利用車恰能通過軌道最高來求出進入軌道C點的最小速度，從而由動能定理來求出CD軌道上運動的最短路程，同時再由動能定理來求出賽車電動機工作的時間．

解答：解：（1）要求賽車在運動過程中既不能脫離軌道，又在CD軌道上運動的路程最短，則小車經過圓軌道P點時速度最小，此時賽車對軌道的壓力為零，重力提供向心力：mg=m

v 2 P

R

C點的速度，由機械能守恒定律可得：mg?2R+

1

2

m

v

2 P

=

1

2

m

v

2 C

由上述兩式聯立，代入數據可得：v_C=5m/s                          
設小車在CD軌道上運動的最短路程為x，由動能定理可得：-kmgx=0-

1

2

m

v

2 C

代入數據可得：x=2.5m                                           
（2）由于豎直圓軌道光滑，由機械能守恒定律可知：v_B=v_C=5m/s      
從A點到B點的運動過程中，由動能定理可得：Pt-kmgL=

1

2

m

v

2 B

代入數據可得：t=4.5s．

點評：本題突破口是小車恰能通過最高點時，就是小車在CD軌道上運動的最短路程．同時對動能定理，機械能守恒定律理解．