Question

如圖所示，長度為l的細繩上端固定在天花板上O點，下端拴著質量為m的小球．當把細繩拉直時，細繩與豎直線的夾角為θ=60°，此時小球靜止于光滑的水平面上．
（1）當球以角速度ω₁=

g l

做圓錐擺運動時，細繩的張力F_T為多大？水平面受到的壓力F_N是多大？
（2）當球以角速度ω₂=

4g l

做圓錐擺運動時，細繩的張力F

′

T

及水平面受到的壓力F

′

N

各是多大？

Answer 1

分析：（1）當球做圓錐擺運動時，在水平面內做勻速圓周運動，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律，采用正交分解法列方程求解繩子的張力和支持力，再由牛頓第三定律求出桌面受到的壓力．
（2）當小球對桌面恰好無壓力時，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解此時小球的角速度．根據角速度ω₂=

4g l

與臨界角速度的關系，判斷小球是否離開桌面．若小球桌面做圓周運動，再由牛頓第二定律求解繩子的張力．

解答：解：（1）對小球受力分析，作出力圖如圖1．球在水平面內做勻速圓周運動，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，則
根據牛頓第二定律，得
 水平方向有：F_Tsin60°=mω₁²lsin60°①
 豎直方向有：F_N′+F_Tcos60°-mg=0 ②
又ω₁=

g l

解得 F_T=mg，F_N′=

1

2

mg
根據牛頓第三定律得知水平面受到的壓力F_N=F_N′=

1

2

mg．
（2）設小球對桌面恰好無壓力時角速度為ω₀，即F_N′=0
代入①②解得，ω₀=

2g l

由于ω₂=

4g l

＞ω₀，故小球離開桌面做勻速圓周運動，則此時小球的受力如圖2．設繩子與豎直方向的夾角為α，則有
  mgtanθ=mω₂²?lsinα  ③
   mg=F_T′cosα  ④
聯立解得 F_T′=4mg
答：
（1）當球以ω₁=

g l

做圓錐擺運動時，繩子張力F_T為mg，桌面受到壓力F_N是

1

2

mg．
（2）當球以角速度ω₂=

4g l

做圓錐擺運動時，繩子的張力為4mg，桌面受到的壓力為零．

點評：本題是圓錐擺問題，分析受力，確定向心力來源是關鍵，要注意分析隱含的臨界狀態，運用牛頓運動定律求解．