Question

如圖所示，長度為l的細繩上端固定在天花板上O點，下端拴著質量為m的小球．當把細繩拉直時，細繩與豎直線的夾角為θ=60°，此時小球靜止于光滑的水平面上．
（1）當球以角速度ω₁=

g 2l

做圓錐擺運動時，水平面受到的壓力F_N是多大？
（2）當球以角速度ω₂=

3g l

做圓錐擺運動時，細繩的張力F T″是多大？

Answer 1

分析：（1）當球做圓錐擺運動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，當小球受到水平面的支持力剛為F_N=0時，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出此時的臨界角速度．根據角速度與臨界角速度的關系，分析水平面有無支持力，采用正交分解法列方程求解支持力，再由牛頓第三定律求出水平面受到的壓力F_N．
（2）判斷小球是否離開桌面．若小球離開桌面做圓周運動，再由牛頓第二定律求解細繩的張力F′_T．

解答：解：對小球：當小球受到水平面的支持力剛為F_N=0時，張力為F_T，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，如圖1，根據牛頓第二定律得：
   mgtanθ=mω

2 0

lsinθ  ①
解得：ω₀=

2g l

  ②
（1）因為ω₁＜ω₀，所以水平面對小球的支持力 F_N≠0，如圖2，根據牛頓第二定律得：
  F′_Tsin60°=mω

2 1

lsin60°  ③
  F′_N+F′_Tcos60°=mg   ④
解得：F′_N=

3

4

mg  ⑤
（2）因為ω₂＞ω₀，所以小球將離開水平桌面，水平面對小球的支持力 F″_N=0，θ＞60°
則 F″_Tsinθ=mω

2 2

lsinθ  ⑥
 解得：F″_T=3mg  ⑦
答：
（1）當球以角速度ω₁=

g 2l

做圓錐擺運動時，水平面受到的壓力F_N是

3

4

mg．
（2）當球以角速度ω₂=

3g l

做圓錐擺運動時，細繩的張力F T″是3mg．

點評：本題是圓錐擺問題，分析小球的受力，確定向心力來源是關鍵，實質是牛頓第二定律的特殊應用．