Question

如圖所示，長度為L的細繩上端固定在天花板上O點，下端拴著質量為m的小球．當把細繩拉直時，細繩與豎直線的夾角為θ=60°，此時小球靜止于光滑的水平面上．
（1）當球以角速度ω₁=

g L

做圓錐擺運動時，水平面受到的壓力N是多大？
（2）當球以角速度ω₁=

4g L

做圓錐擺運動時，細繩的張力T為多大？

Answer 1

分析：（1）當球做圓錐擺運動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，由重力、水平面的支持力和繩子拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律，采用正交分解法列方程求解支持力，再由牛頓第三定律求出水平面受到的壓力N．
（2）當小球對桌面恰好無壓力時，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求解此時小球的角速度．根據角速度ω=

4g L

與臨界角速度的關系，判斷小球是否離開桌面．若小球桌面做圓周運動，再由牛頓第二定律求解細繩的張力T．

解答：解：設小球做圓錐擺運動的角速度為ω₀時，小球對光滑水平面的壓力恰好為零，此時球受重力mg和繩的拉力T₀，應用正交分解法則列出方程：
  T₀sinθ=m

ω

2 0

Lsinθ    ①
  T₀cosθ-mg=0    ②
由以上二式解得：ω₀=

2g L

  ③
（1）∵ω₁＜ω₀時，所以小球受重力mg，繩的拉力T和水平面的支持力N，應用正交分解法列方程：
  Tsinθ=mω

2 1

Lsinθ    ④
   Tcosθ+N-mg=0     ⑤
解得：T=mg，N=

mg

2

（2）∵ω₂＞ω₀時，小球離開水平面做圓錐擺運動，設細繩與豎直線的夾角為α，由于球已離開水平面，所以球對水平面的壓力N′=0．小球受重力mg和細繩的拉力T′，應用正交分解法列方程：
 T′sinθ=mω

2 2

Lsinθ ⑥
 T′cosθ-mg=0   ⑦
解得：cosθ=

1

4

，T′=

mg

cosα

=4mg，
答：（1）當球以角速度ω₁=

g L

做圓錐擺運動時，水平面受到的壓力N是

mg

2

．（2）當球以角速度ω₁=

4g L

做圓錐擺運動時，細繩的張力T為4mg．

點評：本題是圓錐擺問題，分析受力，確定向心力來源是關鍵，實質是牛頓第二定律的特殊應用．