Question

(18分）圖所示為回旋加速器的示意圖。它由兩個鋁制D型金屬扁盒組成,兩個D形盒正中間開有一條狹縫，兩個D型盒處在勻強磁場中并接在高頻交變電源上。在D₁盒中心A處有離子源，它產生并發出的a粒子,經狹縫電壓加速后,進入D₂盒中。在磁場力的作用下運動半個圓周后，再次經狹縫電壓加速。為保證粒子每次經過狹縫都被加速，設法使交變電壓的周期與粒子在狹縫及磁場中運動的周期一致。如此周而復始，速度越來越 大,運動半徑也越來越大,最后到達D型盒的邊緣，以最大速度被導出。已知a粒子電荷量為q,質量為m，加速時電極間電壓大小恒為U,磁場的磁感應強度為B,D型盒的半徑為R，設 狹 縫 很 窄,粒子通過狹縫的時間可以忽略不計，設α粒子從離子源發出時的初速度為零。（不計α粒子重力）求：

(1) α粒子第一次被加速后進入D₂盒中時的速度大小；
(2) α粒子被加速后獲得的最大動能E_k和交變電壓的頻率f；
(3)α粒子在第n次由D₁盒進入D₂盒與緊接著第n+1次由D₁盒進入D₂盒位置之間的距離Δx。

Answer 1

（1）（2），（3）

試題分析：α粒子在狹縫中做加速運動，在D形盒內做勻速圓周運動。
（1）設α粒子第一次被加速后進入D₂盒中時的速度大小為v₁，根據動能定理有
    2分
    2分
（2）α粒子在D形盒內做圓周運動，軌道半徑達到最大時被引出，具有最大動能。設此時的速度為v_m，有    
    2分
解得：    2分    
設α粒子的最大動能為E_k，則
E_k=     2分               
解得：E_k=   2分
設交變電壓的周期為T、頻率為f，為保證粒子每次經過狹縫都被加速，帶電粒子在磁場中運動一周的時間應等于交變電壓的周期（在狹縫的時間極短忽略不計），則
 ，
解得：T=    1分
   1分                       
（3）離子經電場第1次加速后，以速度進入D₂盒，設軌道半徑為r₁
          
離子經第2次電場加速后，以速度v₂進入D₁盒，設軌道半徑為r₂
     1分             
離子第n次由D₁盒進入D₂盒，離子已經過（2n-1）次電場加速，以速度進入D₂盒，由動能定理：

解得軌道半徑：      1分
離子經第n+1次由D₁盒進入D₂盒，離子已經過2n次電場加速，以速度v_2n進入D₁盒，由動能定理：

軌道半徑：    1分
則     1分（如圖所示）
 
       1分