Question

如圖所示，一束截面為圓形、半徑為R的平行單色光，垂直射向一玻璃半球的上表面，經折射后在屏幕S上形成一個圓形亮區．已知玻璃半球的半徑為R，屏幕S到球心的距離為d（d＞3R），玻璃對該單色光的折射率為n，不考慮光的干涉和衍射，求屏幕上被照亮區域的半徑．

Answer 1

分析：作出光線在圓面上發生全反射的光路圖，結合折射定律和幾何關系求出屏幕上被照亮區域的半徑．

解答：解：設光恰好要發生全反射時的臨界光線照射到屏幕S上的E點到亮區中心O′點的距離r就是所求最大半徑，如圖所示．設臨界角為θ_C，有

sinθC=

1

n

又OF=

R

cosθC

O′E=（d-OF）cotθ_C
解得r=O′E=d

n2-1

-nR．
答：屏幕上被照亮區域的半徑為d

n2-1

-nR．

點評：本題考查了光的折射定律和全反射知識，對數學幾何能力的要求較高，需加強這方面的訓練．