Question

如圖所示，ABC和DEF是在同一豎直平面內的兩條光滑軌道，其中ABC的末端水平，DEF是半徑為r=0.4m的半圓形軌道，其直徑DF沿豎直方向，C、D可看作重合．現有一m=1kg可視為質點的小球從軌道ABC上距C點高為H的地方由靜止釋放（取g=10m/s²）．
（1）若要使小球經C處水平進入軌道DEF且能沿軌道運動，H至少要有多高？
（2）若小球靜止釋放處離C點的高度h小于（1）中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的E點，求h．
（3）若小球自H=0.3m處靜止釋放，求小球到達F點對軌道的壓力大小．

Answer 1

分析：（1）根據重力提供向心力求出小球經過D點的最小速度，結合動能定理求出H的至少高度．
（2）根據平拋運動的規律求出在D點的速度，結合動能定理求出h的大小．
（3）對A到F的過程運用動能定理，求出F點的速度，結合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出小球到達F點對軌道的壓力大小．

解答：解：（1）根據mg=m

v12

r

得，
要使小球能沿圓軌道運動，小球在D點的速度至少為v1=

gr

A到D，由動能定理得：mgHmin=

1

2

m

v

2 1

得H_min=0.2m
（2）小球在D點作平拋運動，設小球在D點的速度為v₂x=v₂t=r，y=

1

2

gt2=r
A到D，由動能定理得：mgh=

1

2

m

v

2 2

代入數據，由以上各式可得h=0.1m
（3）小球從A到F，由動能定理得：mg(H+2r)=

1

2

m

v

2 F

由向心力公式：NF-mg=

m v 2 F

r

代入數據得N_F=65N
由牛頓第三定律可知：球在F點對軌道的壓力大小為NF′=65N
答：（1）H至少0.2m．
（2）h的大小為0.1m．
（3）小球到達F點對軌道的壓力大小為65N．

點評：本題考查了動能定理和牛頓第二定律的綜合，搞清圓周運動向心力的來源是解決本題的關鍵．