Question

如圖所示，半徑為R的1/4光滑圓弧軌道最低點D與水平面相切，在D點右側L₀=4R處用長為R的細繩將質量為m的小球B（可視為質點）懸掛于O點，小球B的下端恰好與水平面接觸，質量為m的小球A（可視為質點）自圓弧軌道C的正上方H高處由靜止釋放，恰好從圓弧軌道的C點切入圓弧軌道，已知小球A與水平面間的動摩擦因數μ=0.5，細繩的最大張力F_m=7mg，重力加速度為g，試求：（1）若H=R，小球A到達圓弧軌道最低點D時所受軌道的支持力；
（2）試討論H在什么范圍內，小球A與B發生彈性碰撞后細繩始終處于拉直狀態．

Answer 1

（1）設小球A運動到圓弧軌道最低點D時速度為v₀，
則由機械能守恒定律有：

1

2

mv₀²=mg（H+R） ①
圓弧軌道最低點，由牛頓第二定律可得：N-mg=m

v 20

R

②
解得：N=5mg ③；
（2）設A與B碰前速度為v_A，碰后A的速度為v_A′，B的速度為v_B，
A與B碰撞過程，由動量守恒定律得：mv_A=mv_A′+mv_B ④
由機械能守恒定律得：

1

2

mv_A²=

1

2

mv_A′²+

1

2

mv_B² ⑤，
A在水平面上滑行過程，由動能定理得：-μmgL₀=

1

2

mv_A²-

1

2

mv₀² ⑥
A、若碰后B能在豎直平面內做完整的圓周運動，則細繩始終處于拉直狀態，
設小球B在最高處速度為v_B′，則在最高處有：mg≤m

v′ 2B

R

⑦
小球B從最低點到最高點：

1

2

mv_B²=

1

2

mv_B′²+mg?2R ⑧，
小球B在最低點時細繩受力最大，F_m-mg≥m

v 2B

R

⑨
聯立①④⑤⑥⑦⑧⑨解得：3.5R≤H≤4R ⑩，
B、若A與B碰后B擺動的最大高度小于R，則細繩始終處于拉直狀態，則
根據機械能守恒得：

1

2

mv_B²≤mgR （11），
要保證A與B能發生碰撞，v_A＞0，（12）
聯立①④⑤⑥（11）（12）解得：R＜H≤2R；
答：（1）若H=R，小球A到達圓弧軌道最低點D時所受軌道的支持力為5mg；
（2）當3.5R≤H≤4R或R＜H≤2R時，小球A與B發生彈性碰撞后細繩始終處于拉直狀態．