Question

（18分）萬有引力定律揭示了天體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律與地上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有內(nèi)在的一致性。
（1）用彈簧秤稱量一個(gè)相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果。已知地球的質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G。將地球看作是半徑為R，質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設(shè)在地球北極地面稱量時(shí)，彈簧秤的讀數(shù)是F₀。
a.若在北極上空h處稱量，彈簧秤的讀數(shù)為F₁，求比值F₁/F₀的表達(dá)式（并就的情形算出具體數(shù)值，（計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）
b.若在赤道地面處稱量，彈簧秤的讀數(shù)為F₂，求比值F₂/F₀的表達(dá)式
（2）設(shè)想地球繞太陽公轉(zhuǎn)的半徑為r，太陽的半徑為R_S，地球的半徑為R，三者均減小為現(xiàn)在的1.0%，太陽和地球的密度均勻且不變，僅考慮太陽和地球之間的相互作用，以現(xiàn)實(shí)地球的1年為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算“設(shè)想地球”的一年將變?yōu)槎嚅L？

Answer 1

（1） ；  （2）不變

試題分析：（1）設(shè)物體的質(zhì)量m。
a．物體處于北極以及北極上方時(shí)，萬有引力等于重力，，
在北極上空h處
可得
當(dāng)時(shí)，
b.在赤道上彈簧秤的讀數(shù)表示重力的大小，即，可以求得
（2）地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到太陽的萬有引力。設(shè)太陽的質(zhì)量為M_S，地球的質(zhì)量為M，地球公轉(zhuǎn)的周期為T_E。
根據(jù)太陽的引力提供地球的向心力，
太陽的質(zhì)量，其中ρ為太陽的密度。
所以有
從上式可以看出當(dāng)r、R、R_S均變?yōu)楝F(xiàn)在的百分之一時(shí)，周期不變，即“設(shè)想地球”的一年與現(xiàn)實(shí)地球的1年相同。