Question

如圖所示，帶電平行金屬板相距為2R，在兩板間半徑為R的圓形區域內有垂直紙成向里的勻強磁場，磁感應強度為B，兩板及其左側邊緣連線均與磁場邊界剛好相切．一質子（不計重力）沿兩板間中心線O₁O₂從左側O₁點以某一速度射入，沿直線通過圓形磁場區域，然后恰好從極板邊緣飛出，在極板間運動時間為t₀．若僅撤去磁場，質子仍從O₁點以相同速度射入，經

t0

2

時間打到極板上．
（1）求兩極板是電壓U；
（2）求質子從極板間飛出時的速度大小；
（3）若兩極板不帶電，保持磁場不變，質子仍沿中心線O₁O₂從O₁點射入，欲使質子從兩板左側間飛出，射入的速度應滿足什么條件？

Answer 1

（1）設粒子從左側O₁點射入的速度為v₀，極板長為L
粒子在初速度方向上做勻速直線運動L：(L-2R)=t0：

t0

2

，
解得：L=4R
在電場中：L-2R=v0?

t0

2

由牛頓第二定律，a=

qE

m

又R=

1

2

a(

t0

2

)2
在復合場中作勻速運動：q

U

2R

=qv0B
解得v0=

4R

t0

，
則有，U=

8R2B

t0

（2）質子從極板間飛出時的沿電場方向分速度大小，v_y=

qE

m

t=

2R

t

=v0
從極板間飛出時的速度大小v=

v 20 + v 2y

=

2

v0=

4 2 R

t0

（3）設質子在磁場中做圓周運動的軌跡半徑為r，質子恰好從上極板左邊緣飛出時速度的偏轉角為α，
由幾何關系可知，β=π-α=45°，
r+

2

r=R
因為R=

1

2

qE

m

(

t0

2

)2，
所以

qE

m

=

qv0B

m

=

8R

t 20

根據向心力公式，qvB=m

v2

r

，
解得：v=

2( 2 -1)

t0

R
所以質子兩板左側間飛出的條件為0＜v＜

2( 2 -1)

t0

R；
答：（1）兩極板是電壓U=

8R2B

t0

；
（2）質子從極板間飛出時的速度大小

4 2 R

t0

；
（3）射入的速度應滿足0＜v＜

2( 2 -1)

t0

R條件．