Question

如圖所示，ABC是固定在豎直平面內(nèi)的絕緣圓弧軌道，圓弧半徑為R．A點(diǎn)與圓心O等高，B、C點(diǎn)處于豎直直徑的兩端．PA是一段絕緣的豎直圓管，兩者在A點(diǎn)平滑連接，整個(gè)裝置處于方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的小球從管內(nèi)與C點(diǎn)等高處由靜止釋放，一段時(shí)間后小球離開圓管進(jìn)入圓弧軌道運(yùn)動(dòng)．已知?jiǎng)驈?qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E=

3mg

4q

（g為重力加速度），小球運(yùn)動(dòng)過程中的電荷量保持不變，忽略圓管和軌道的摩擦阻力．求：
（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小；
（2）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力；
（3）小球在圓弧軌道運(yùn)動(dòng)過程中速度最大為多少？

Answer 1

（1）小球從P運(yùn)動(dòng)到A的過程中，由動(dòng)能定理得：
解得：

mg2R+EqR= 1 2 m v 2B -0 vB= 11 2 gR

（2）小球在最低點(diǎn)B時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：

FN-mg=m v 2B R FN= 13 2 mg

則由牛頓第三定律得：小球?qū)�圓弧軌道的壓力大小為

13

2

mg．
（3）對(duì)小球，等效最低點(diǎn)為F點(diǎn)，在F點(diǎn)小球的速度最大，設(shè)OF與豎直方向的夾角為θ，在此位置小球所受的電場(chǎng)力與重力的合力方向沿半徑向外，則有：
tanθ=

qE

mg

=

3

4

則知：sinθ=0.6，cosθ=0.8
設(shè)小球在圓弧軌道運(yùn)動(dòng)過程中速度最大為v_m，小球從P到F的過程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
mgR（1+cosθ）+qER（1+sinθ）=

1

2

m

v

2m

解得：v_m=

6gR

答：（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小是

11 2 mg

；
（2）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力是

13

2

mg；
（3）小球在圓弧軌道運(yùn)動(dòng)過程中速度最大為

6gR

．