Question

2012年4月30日4時50分，我國在西昌衛星發射中心用“長征三號乙”運載火箭首次采用“一箭雙星”的方式，成功發射兩顆北斗導航衛星，衛星順利進入預定轉移軌道．北斗衛星導航系統是中國自行研制開發的區域性有源三維衛星定位與通信系統（CNSS），其空間端包括5顆靜止軌道衛星和30顆非靜止軌道衛星，如圖甲所示．
為簡便起見，認為其中一顆衛星軌道平面與地球赤道平面重合，繞地心做勻速圓周運動（如圖乙所示），與地心的距離為地球半徑R₀的2倍，衛星上的太陽能收集板可以把光能轉化為電能，太陽能收集板的面積為S，在陽光下照射下每單位面積提供的最大電功率為P．已知地球表面重力加速度為g，近似認為太陽光是平行光，試估算：
（1）衛星做勻速圓周運動的周期；
（2）衛星繞地球一周，太陽能收集板工作時間及太陽能收集板最多可以轉化多少電能？

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力，求出衛星的周期．
（2）根據幾何關系求出不能接受陽光的陰影區所對應的圓心角，從而得出太陽能收集板的工作時間，根據E=PSt求出收集的電能．

解答：解：（1）地球衛星做勻速圓周運動，
根據牛頓第二定律：

GMm

(2R0)2

=m

4π2

T2

(2R0)2
GM=gR02．
故衛星做勻速圓周運動的周期為：T=4π

2R0 g

．
（2）如圖，當衛星在陰影區時不能接受陽光，據幾何關系：∠AOB=∠COD=

π

3

．
故衛星繞地球一周，太陽能收集板工作時間為：t=

5

6

T=

10π

3

2R0 g

．
最多轉化的電能：E=PSt=

10πPS

3

2R0 g

．
答：（1）衛星做勻速圓周運動的周期為T=4π

2R0 g

．
（2）衛星繞地球一周，太陽能收集板工作時間及太陽能收集板最多可以轉化的電能為

10πPS

3

2R0 g

．

點評：解決本題的關鍵萬有引力提供向心力，萬有引力等于重力這兩大理論，并能熟練運用．